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Números Complexos (Máximo/Mínimo)

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Mensagem por allucardxxd Sáb 17 maio 2014, 03:37

Determine os valores máximo e mínimo de |z+i|, quando |z-2|=1

Gabarito:
Valor mínimo:
sqrt(5)-1
Valor máximo:
sqrt(5)+1

allucardxxd
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Mensagem por mauk03 Sáb 17 maio 2014, 14:12

|z - 2| = 1, z = x + iy
--> |x + iy - 2| = 1 --> |(x - 2) + iy| = 1 --> (x - 2)² + y² = 1²


.:. o conjunto dos complexos z tais que |z - 2| = 1 é uma circunferência de centro C(2,0) e raio 1


|z + i| é a distância de um ponto P da circunferência ao afixo de -i, ponto Q(0,-1).


.:. |z + i| = d(P,Q)


d(P,Q) tem valor mínimo quando P é o ponto de intersecção da reta CQ com a circunferência mais próximo de Q e tem valor máximo quando P é o ponto de intersecção da reta CQ com a circunferência mais distante de Q.



CQ passa por C(2,0) e Q(0,-1), e portanto tem equação y = x/2 - 1.


Intersecções de CQ com a circunferência:
(x - 2)² + (x/2 - 1)² = 1 --> x = 2 - 25/5 ou x = 2 + 25/5
--> y = x/2 - 1 --> y = -√5/5 ou y = +√5/5 
.:. P1(2 - 25/5,-√5/5) e P2(2 + 25/5,+√5/5) são as intersecções


P1 é mais próximo de Q. Logo d(P1,Q) = 5 - 1 é o valor mínimo de |z + i|.
P2 é mais próximo de Q. Logo d(P2,Q) = 5 + 1 é o valor máximo de |z + i|.


 
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Mensagem por allucardxxd Seg 19 maio 2014, 00:38

Muito obrigado mauk03

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