Tangente a uma elipse E num ponto P

por thaisxn Seg 21 Abr 2014, 20:41

Uma reta r é tangente a uma elipse E num ponto P E E se r intersecta E só neste ponto, ou seja, r inteseção E= {P}. Verifique que a equação da reta tangente à elipse E: b² x² +a² y² = a² b² em um ponto P = (x₀ ,y₀ ) E E é

b² x₀ x + a² y₀y = a² b²

por Man Utd Ter 22 Abr 2014, 12:15

Uma solução por derivadas é a maneira mais simples e rápida, mas se quiser sem derivadas nesse LINK (Exemplo 9) tem a resposta.

$\\\\\\ b^2x^2+a^2 y^2=a^2b^2 \\\\\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Derivando implicitamente em relação a "x" :

$\\\\\\ \frac{2x}{a^2}+\frac{2yy^{\prime}}{b^2}=0 \\\\\\ y^{\prime}=-\frac{b^2 x}{a^2 y}$

aplicando no ponto (x0,y0) :

$\\\\\\ y^{\prime}=-\frac{b^2 x_{0}}{a^2 y_{0}}$

então a reta tangente a elipse passa por (xo,yo) e tem o coeficiente angular encontrado anteriormente :

$\\\\\\ y-y_{0}=-\frac{b^2 x_{0}}{a^2 y_{0}}*(x-x_{0}) \\\\\\ (y-y_{0})a^2y_{0}=-b^2 x_{0}*(x-x_{0}) \\\\\\ a^2y_{0}y-a^2y^{2}_{0}=-b^2 x_{0}x+b^{2}x^{2}_{0} \\\\\\ b^2 x_{0}x+a^2y_{0}y=b^{2}x^{2}_{0}+a^2y^{2}_{0}$

mas sabemos que :

$\\\\\\ b^{2}x^{2}+a^2y^{2}=a^2b^2 \;\;\;\;\; \text{ aplicado no ponto P(xo, yo) , ficamos com :} \\\\\\ b^{2}x^{2}_{0}+a^2y^{2}_{0}=a^2b^2$

então a equação é :

$\\\\\\ \boxed{\boxed{\boxed{b^{2}x_{0}x+a^2y_{0}y=a^2b^2}}}$

por thaisxn Ter 22 Abr 2014, 16:24

obrigada pela ajuda

por emersons Ter 22 Abr 2014, 16:59

ola , eu visitei o link e gostei muito do material, onde posso conseguir materias iguais a esse para que possa complentar meus estudos, pois todos materiais sbre matematica vai ser bem vindo, parabens continue assim.

grato,

por Man Utd Qua 23 Abr 2014, 10:34

Olá

Não tenho outros materiais iguais a esse, mas recomendo o canal de videoaulas LCMaquino , e o livro : Geometria Analítica - Um Tratamento Vetorial - Paulo Boulos; Ivan de Camargo .