Álgebra básica

por Leticia197 Dom 20 Abr 2014, 20:59

Simplifique : ( a²-b²)³+ (b²- C ²)³+ (C² - a²) ³
——————–———————————————
(A-b)³ + (b-C )³+ (C-A) ³

por **Robson Jr.** Dom 20 Abr 2014, 23:59

Vamos destruir esse problema?

No tópico abaixo, eu demonstro uma fatoração importantíssima para quem estudar matemática elementar num nível mais elevado do que o usual em ensino médio:

https://pir2.forumeiros.com/t32409-demonstracao-de-uma-fatoracao-importante

Dessa fatoração, tiramos uma conclusão notável:

$\small \boxed{x+y+z=0 \Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz}$

Com o exposto em mente, seja "E" o valor da expressão do enunciado. Observe que:

$\small \\ 1) \ (a^2-b^2)+(b^2-c^2)+(c^2-a^2)=0 \\ 2) \ (a-b)+(b-c)+(c-a)=0$

Portanto:

$\small E=\frac{(a^2-b^2)^3+(b^2-c^2)^3+(c^2-a^2)^3}{(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3}=\frac{3(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)}{3(a-b)(b-c)(c-a)}$

Abrindo as diferenças de quadrados e simplificando:

$\small \boxed{E=(a+b)(b+c)(a+c)}$

por Luck Dom 20 Abr 2014, 23:59

Se x+y+z = 0 , então x³ + y³ + z³ = 3xyz
Note que (a²-b²) + (b²-c²) + (c²-a²) = 0 e (a-b)+(b-c) +(c-a) = 0
Então temos:
S = 3(a²-b²)(b²-c²)(c²-a²)/3(a-b)(b-c)(c-a)
S = (a+b)(b+c)(c+a)

ps. Robson chegou primeiro Very Happy

, vou deixar outra demo da fatoração:
a³ + b³ + c³ = (a+b)³ + c³ - 3ab(a+b) = (a+b+c)( (a+b)² - (a+b)c + c² ) - 3ab(a+b)
a³ + b³ + c³ = (a+b+c)( a² + 2ab + b² -ac - bc + c² ) - 3ab(a+b)
a³ + b³ + c³ = (a+b+c)(a² + b² + c² -ab - ac - bc + 3ab) -3ab(a+b)
a³ + b³ + c³ = (a+b+c)(a² +b² + c² -ab - ac - bc) + 3ab(a+b+c) - 3ab(a+b)
a³+b³+c³ = (a+b+c)(a² +b²+c² - ab - ac - bc) + 3ab(a + b + c - a - b)
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a² + b² + c² -ab - ac - bc)
sendo a+b+c = 0 , a³ + b³ + c³ = 3abc

por **Robson Jr.** Seg 21 Abr 2014, 00:07

Luck escreveu:Se x+y+z = 0 , então x³ + y³ + z³ = 3xyz
Note que (a²-b²) + (b²-c²) + (c²-a²) = 0 e (a-b)+(b-c) +(c-a) = 0
Então temos:
S = 3(a²-b²)(b²-c²)(c²-a²)/3(a-b)(b-c)(c-a)
S = (a+b)(b+c)(c+a)

Grande Luciano! Com tão poucos segundos de diferença, é até injusto uma das respostas sair acima da outra.