Números Inteiros, divisibilidade.

Olá!


Sendo ''p'' um natural maior que 1 e não divisível por 2 nem por 3, prove que p² - 1 é divisível por 24.


Gabarito:
Como p > 1 e p não é divisível por 2 e nem por 3, temos que p é ímpar (já que 2 não o
divide). Como p² – 1 = (p + 1) (p – 1),  (p + 1) e (p – 1) são números
consecutivos e pares. Como, entre três números consecutivos, um
deles é divisível por 3, e como, entre quatro números, um deles é
divisível por 4 (e esse número deve ser par), p² – 1 é divisível por 24.


Observações pessoais: A fatoração envolvida e a prova (de que entre 3 números consecutivos um deles é divisível por três) está tudo bem. Iria ajudar muito uma explicação da lógica envolvida, do raciocínio que leva para a conclusão. Olho essa questão com a resolução e ainda sim fico bastante perdido.   
 
Obrigado! Tenha um bom dia!   

p² - 1 = (p + 1)(p - 1), p > 1

Se p não é divisível por 2, então:
-p é ímpar;
-(p + 1) e (p - 1) serão sempre divisíveis por 2 (pois sempre serão pares).

Se p não é divisível por 3, então:
-(p + 1) ou (p - 1) será divisível por 3;
-(p - 1) será divisível por 2 e (p + 1) será divisível por 4 (ou vice-versa).

Logo p² - 1 é divisível por 2, por 3 e por 4. Portanto é divisível por 2.3.4 = 24

Mauk03, obrigado pela resposta, mas acabei não entendendo também   
Não sei se tenho algum tipo de bloqueio com questões assim... As sentenças eu entendo, mas acaba tudo ficando confuso...
Tenha um ótimo domingo de Páscoa! Obrigado pela resposta, tentarei essa questão novamente daqui umas horas

Vou tentar simplificar um pouco mais:

Primeiramente observe que o menor valor que p pode assumir é 5, pois é maior que 1, ímpar e não é divisível por 3.
Se (p + 1) e (p - 1) são pares, pois são antecessor e sucessor de um número ímpar, respectivamente, então podemos escrever (p + 1) = 2m e (p - 1) = 2n, onde m e n são inteiros positivos.
Sabe-se que (p + 1) ou (p - 1) é divisível por 3 pois entre três números consecutivos um deles é divisível por 3.
Agora observe que se (p + 1) é um par divisível por 3 então (p - 1) é divisível por 4 e se (p - 1) é um par divisível por 3 então (p + 1) é divisível por 4, já que a cada dois números pares em sequência um é múltiplo de 4:
2,4,6,8,10,12,... --> 4,8,12,...
Então podemos escrever (p + 1) = 3.2m = 6m e (p - 1) = 4n ou (p - 1) = 3.2n = 6n e (p + 1) = 4m
Logo (p + 1)(p - 1) = 6m.4n = 24mn ou (p + 1)(p - 1) = 4m.6n = 24mn (em ambos os casos tem-se um múltiplo de 24)


Obrigado e boa Páscoa pra vc tb.