Princípio da Indução Finita
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Princípio da Indução Finita
por Shikamaru Sex 18 Abr 2014, 09:41
1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)*(2n+1)/6, ∀n∈ℕ*
Shikamaru- Recebeu o sabre de luz
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Re: Princípio da Indução Finita
por mauk03 Sex 18 Abr 2014, 17:36
Para n = 1:
1² = (1 + 1)*(2 + 1)/6 = 2*3/6 = 1 = 1² (verdadeiro)
Para n = k (k∈ℕ*):
1² + 2² + 3² + ... + k² = k(k + 1)*(2k + 1)/6
Para n = k + 1:
1² + 2² + 3² + ... + k² + (k + 1)² = (k + 1)[(k + 1) + 1]*[2(k + 1) + 1]/6
Usando-se as ultimas duas relações tem-se:
k(k + 1)*(2k + 1)/6 + (k + 1)² = (k + 1)[(k + 1) + 1]*[2(k + 1) + 1]/6
Resta mostrar que os dois membros da ultima equação são sempre iguais para todo k∈ℕ*. No 1º membro:
k(k + 1)*(2k + 1)/6 + (k + 1)² = (k + 1)[k(2k + 1) + 6(k + 1)]/6 = (k + 1)(2k² + 7k + 6)/6 = (k + 1)(k + 2)(2k + 3)/6
= (k + 1)[(k + 1) + 1]*[2(k + 1) + 1]/6
c.q.d.
1² = (1 + 1)*(2 + 1)/6 = 2*3/6 = 1 = 1² (verdadeiro)
Para n = k (k∈ℕ*):
1² + 2² + 3² + ... + k² = k(k + 1)*(2k + 1)/6
Para n = k + 1:
1² + 2² + 3² + ... + k² + (k + 1)² = (k + 1)[(k + 1) + 1]*[2(k + 1) + 1]/6
Usando-se as ultimas duas relações tem-se:
k(k + 1)*(2k + 1)/6 + (k + 1)² = (k + 1)[(k + 1) + 1]*[2(k + 1) + 1]/6
Resta mostrar que os dois membros da ultima equação são sempre iguais para todo k∈ℕ*. No 1º membro:
k(k + 1)*(2k + 1)/6 + (k + 1)² = (k + 1)[k(2k + 1) + 6(k + 1)]/6 = (k + 1)(2k² + 7k + 6)/6 = (k + 1)(k + 2)(2k + 3)/6
= (k + 1)[(k + 1) + 1]*[2(k + 1) + 1]/6
c.q.d.
mauk03- Fera
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