As equações das retas tangente à elipse

por emersons Qui 17 Abr 2014, 20:17

                                              Encontre as equações das retas tangente à elipse

                                                E: X²/20 + y²/5 = 1


                                            Que passa pelo ponto (10/3 ; 5/3)

por Man Utd Qui 17 Abr 2014, 21:38

Uma solução envolvendo cálculo :

dada a elipse vamos derivar implicitamente me relação a "x" :

$\\\\\\ \frac{2x}{20}+\frac{2y*y^{\prime}}{5}=0 \\\\\\ \frac{x}{10}+\frac{2y*y^{\prime}}{5}=0 \\\\\\ 2y*y^{\prime}=-\frac{x}{2} \\\\\ y^{\prime}=-\frac{x}{4y}$

substituindo na equação da reta tangente :

$\\\\\\ y-\frac{5}{3}=-\frac{x}{4y}*\left(x-\frac{10}{3}\right) \\\\\\ 3x^2+12y^2-10x-20y=0\;\;, (I)$

Fazendo a intercessão da elipse e a expressão (I) :

$\\\\\\ \begin{cases} 3x^2+12y^2-10x-20y=0 \\\\ \frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1 \end{cases}$

Se fizer os cálculos irá obter : $\\\\\\ P_{1}(2,2) \;\;\; \wedge \;\;\; P_{2}(4,1)$ que são os pontos de tangência, então aplicando o procedimento da reta tangente ao gráfico em cada um dos pontos :

$\\\\\\ P_{1}: \;\; y^{\prime}=-\frac{x}{4y} \;\;\; \Rightarrow \;\;\; y^{\prime}=-\frac{2}{4*2}=-\frac{1}{4} \\\\\\ P_{2}: \;\; y^{\prime}=-\frac{x}{4y} \;\;\; \Rightarrow \;\;\; y^{\prime}=-\frac{4}{4*1}=-1$

$\\\\\\ r_{1} : \;\;\; y-\frac{5}{3}=-\frac{1}{4}*(x-\frac{10}{3}) \\\\\\ r_{2}: \;\;\; y-\frac{5}{3}=-x+\frac{10}{3}$

por juares abreu Dom 20 Abr 2014, 21:38

Como proceder para encontrar os pontos P1=(2;2) e P2=(4;1) ?

por Man Utd Dom 20 Abr 2014, 21:56

Como proceder para encontrar os pontos P1=(2;2) e P2=(4;1) ?

Bastar resolver o sistema (conforme foi dito na primeira mensagem) :

$As equações das retas tangente à elipse Gif$

por maxbmb Qua 23 Abr 2014, 20:31

Não consegui encontrar os pontos. Fazendo o sistema, encontrei uma reta x-2y+6=0

por Man Utd Qui 24 Abr 2014, 09:16

$\\\\\\ \begin{cases} 3x^2+12y^2-10x-20y=0 \\\\ \frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1 \end{cases} \\\\\\\\ \begin{cases} 3x^2+12y^2-10x-20y=0 \\\\ x^2+4y^2=20 \end{cases}$

$\\\\\\\\ \begin{cases} 3x^2+12y^2-10x-20y=0 \\\\ 3x^2+12y^2-60=0 \end{cases}$

multiplicando a primeira equação por -1 e somando com a segunda equação :

$\\\\\\\\ 10x+20y-60=0 \\\\\\ x+2y-6=0 \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; x=6-2y$

substituindo esta reta na primeira equação :

$\\\\\\\\ 3(6-2y )^2+12y^2-10(6-2y)-20y=0$

Termine e ache dois valores para y, depois substitua esse valores na equação da reta para achar o valores de "x".

por maxbmb Qui 24 Abr 2014, 15:16

feito... obrigado

por gasouza Sáb 26 Abr 2014, 01:19

Há como fazer sem uso de Cálculo? Ainda não aprendi a matéria.

por Luck Sáb 26 Abr 2014, 02:10

gasouza escreveu:Há como fazer sem uso de Cálculo? Ainda não aprendi a matéria.

Dá sim, mas vai ser trabalhoso..
y - yo = m (x-xo)
y - (5/3) = m(x - (10/3))
y = [(3x-10)(m/3)] + (5/3)
agora substitua na equação da elipse e depois faça ∆ = 0 (condição de tangência) para achar m. Para evitar o algebrismo vc pode usar a fórmula decorada:

obter a equação de uma reta tangente à elipse:
y = mx ± √(a²m² + b²)
hipérbole:
y = mx ± √(a²m² - b²)
vc deduz isso da mesma maneira que citei acima..