Determine o retângulo...
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Determine o retângulo...
por uninilton Seg 07 Abr 2014, 19:42
Determine o retângulo de maior área contido num triângulo equilátero de lado 4cm, estando a base do retângulo num lado de triângulo.
Resposta: lados 2cm e V3cm
Resposta: lados 2cm e V3cm
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Re: Determine o retângulo...
por Elcioschin Seg 07 Abr 2014, 22:33
AB = BC = CA = 4
AM = h = 4.cos30º ----> h = 2.√3
x = base do retângulo (sobre o lado BC) ----> y = altura do retângulo
AN/DE = AM/BC ---> (2.√3 - y)/x = 2.√3/4 ---> y = - (√3/2).x + 2√3
S = x.y ----> S = (-√3/2).x² + 2.√3.x
Abcissa do vértice da parábola ---> x = - b/2a ---> x = - 2.√3/2.(-√3/2) ---> x = 2
Ordenada do vértice ----> y = √3
AM = h = 4.cos30º ----> h = 2.√3
x = base do retângulo (sobre o lado BC) ----> y = altura do retângulo
AN/DE = AM/BC ---> (2.√3 - y)/x = 2.√3/4 ---> y = - (√3/2).x + 2√3
S = x.y ----> S = (-√3/2).x² + 2.√3.x
Abcissa do vértice da parábola ---> x = - b/2a ---> x = - 2.√3/2.(-√3/2) ---> x = 2
Ordenada do vértice ----> y = √3
Última edição por Elcioschin em Sáb 22 Out 2022, 10:06, editado 1 vez(es)
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Determine o retângulo...
por MuhRod Sáb 22 Out 2022, 00:17
A resolução que encontrei foi sobrepondo o triangulo equilátero no plano cartesiano, de modo que a altura coincida com o eixo das ordenadas, conforme a figura anexada.
Ao colocar o triangulo no plano cartesiano, vamos lembrar que a altura do triangulo é perpendicular a base, por tanto a divide em metades iguais, PORÉM devemos corrigir o sinal, pois metade do triangulo está no 2 quadrante.
Assim, trocamos as arestas por uma reta decrescente da função pologonal do 1 grau, a qual intercepta o eixo Y na altura do triangulo equilátero.
[latex]Hte=\tfrac{l.\sqrt{3}}{2}[/latex]
Como o lado é 4, basta substituir:
[latex]Hte=\tfrac{4.\sqrt{3}}{2}[/latex]
[latex]Hte=2.\sqrt{3}[/latex]
Assim, a reta intercepta o eixo Y no ponto [latex]2.\sqrt{3}[/latex] sendo esse o coenficiente "b".
Para achar a função, vamos utilizar o outro ponto, (2,0), no qual a reta intercepta o eixo das abcissas, ou seja, é a raiz.
F(x)=a.x+b
F(x)=a.x+[latex]2.\sqrt{3}[/latex]
0=a2+[latex]2.\sqrt{3}[/latex]
a=-[latex]\sqrt{3}[/latex]
F(x)=-[latex]\sqrt{3}[/latex]*x +[latex]2.\sqrt{3}[/latex]
Então, para saber os lados do retangulo com área máxima, preciso escrevê-lo dentro do triangulo, assim percebemos que a altura também divide a base do retângulo em metades iguais, por causa da simetria entre os planos cartesianos, assim se acharmos o lado do maior retângulo dentro do triângulo do 1 qudrantre, achamos o lado do 2 quadrante pela simetria. A altura é igual para dos dois, como demosntra na imagem.
Ar= b.h
Ar=x.y
Ar= x.(-[latex]\sqrt{3}[/latex]*x +[latex]2.\sqrt{3}[/latex])
Ar=[latex]-\sqrt{3}.X^{2}+2.\sqrt{3}.X[/latex]
Como ele diz que a área é a máximo, temos que pensar no ponto do vértice(Xv, Yv), considerando o y=Ar, logo o Armax é o Ymax, quando o Xmax também for, então vamos achar o Xv
[latex]Xv=\frac{-b}{2a}[/latex]
[latex]Xv=\frac{-2\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}[/latex]
Logo, Xv=1, por simetria a outra parte é -1.
Vamos achar o outro lado, ou melhor a altura: H=Y=(-[latex]\sqrt{3}[/latex]*x +[latex]2.\sqrt{3}[/latex]), logo H=Y=[latex]\sqrt{3}[/latex].
Ao transceder o retângulo para fora do equilátero e do plano cartesiano, percebemos que o L1=2 e L2=[latex]\sqrt{3}[/latex].
*Imagem, em anexo para apio.
Ao colocar o triangulo no plano cartesiano, vamos lembrar que a altura do triangulo é perpendicular a base, por tanto a divide em metades iguais, PORÉM devemos corrigir o sinal, pois metade do triangulo está no 2 quadrante.
Assim, trocamos as arestas por uma reta decrescente da função pologonal do 1 grau, a qual intercepta o eixo Y na altura do triangulo equilátero.
[latex]Hte=\tfrac{l.\sqrt{3}}{2}[/latex]
Como o lado é 4, basta substituir:
[latex]Hte=\tfrac{4.\sqrt{3}}{2}[/latex]
[latex]Hte=2.\sqrt{3}[/latex]
Assim, a reta intercepta o eixo Y no ponto [latex]2.\sqrt{3}[/latex] sendo esse o coenficiente "b".
Para achar a função, vamos utilizar o outro ponto, (2,0), no qual a reta intercepta o eixo das abcissas, ou seja, é a raiz.
F(x)=a.x+b
F(x)=a.x+[latex]2.\sqrt{3}[/latex]
0=a2+[latex]2.\sqrt{3}[/latex]
a=-[latex]\sqrt{3}[/latex]
F(x)=-[latex]\sqrt{3}[/latex]*x +[latex]2.\sqrt{3}[/latex]
Então, para saber os lados do retangulo com área máxima, preciso escrevê-lo dentro do triangulo, assim percebemos que a altura também divide a base do retângulo em metades iguais, por causa da simetria entre os planos cartesianos, assim se acharmos o lado do maior retângulo dentro do triângulo do 1 qudrantre, achamos o lado do 2 quadrante pela simetria. A altura é igual para dos dois, como demosntra na imagem.
Ar= b.h
Ar=x.y
Ar= x.(-[latex]\sqrt{3}[/latex]*x +[latex]2.\sqrt{3}[/latex])
Ar=[latex]-\sqrt{3}.X^{2}+2.\sqrt{3}.X[/latex]
Como ele diz que a área é a máximo, temos que pensar no ponto do vértice(Xv, Yv), considerando o y=Ar, logo o Armax é o Ymax, quando o Xmax também for, então vamos achar o Xv
[latex]Xv=\frac{-b}{2a}[/latex]
[latex]Xv=\frac{-2\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}[/latex]
Logo, Xv=1, por simetria a outra parte é -1.
Vamos achar o outro lado, ou melhor a altura: H=Y=(-[latex]\sqrt{3}[/latex]*x +[latex]2.\sqrt{3}[/latex]), logo H=Y=[latex]\sqrt{3}[/latex].
Ao transceder o retângulo para fora do equilátero e do plano cartesiano, percebemos que o L1=2 e L2=[latex]\sqrt{3}[/latex].
*Imagem, em anexo para apio.
MuhRod- Iniciante
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