Demonstração com valor absoluto

por Kaio Felippe Secchinato Ter 01 Abr 2014, 14:36

|x + y| = |x| + |y|. Para qualquer valor de x, y ∈ ℝ.
Por que isso tá errado? E como eu consigo provar?

por Luck Ter 01 Abr 2014, 18:24

Basta um contra-exemplo para ver que não é válido: x= 3 , y = -2 :
|3-2| = |3| + |-2|
1 = 3 + 2
1 = 5 , absurdo.

O correto é |x| + |y| ≥ |x+y| , nos reais vc pode provar assim:
sabendo que |a| ≥ a , e |a²| = a²
Como ambos os lados são positivos , podemos elevar ao quadrado:
(|x|+|y|)² ≥ (x+y)²
|x|² +|y|² + 2|x||y| ≥ x² + y² + 2xy
|xy| ≥ xy , que é verdade sempre.

ps: se x,y fossem complexos essa solução não seria válida, aí teria outras formas de demonstrar, vetorialmente por exemplo.

por Kaio Felippe Secchinato Qua 02 Abr 2014, 00:53

|x|² +|y|² + 2|x||y| ≥ x² + y² + 2xy
|xy| ≥ xy , que é verdade sempre.

Não entendi muito bem essa passagem. Você cancelou o valor absoluto de um lado pelo valor normal do outro lado? Eu posso fazer isso?

por Luck Qua 02 Abr 2014, 01:32

Kaio Felippe Secchinato escreveu:|x|² +|y|² + 2|x||y| ≥ x² + y² + 2xy
|xy| ≥ xy , que é verdade sempre.

Não entendi muito bem essa passagem. Você cancelou o valor absoluto de um lado pelo valor normal do outro lado? Eu posso fazer isso?

Como a² é sempre positivo |a²| = a² , então |x+y|² = (x+y)²