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Exercicio de PA !!!

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Mensagem por "S.H" Qua 26 Mar 2014, 19:06

A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn= 3n² + 2n.O 10º termo dessa PA é ?

Tenho dificuldade nesse tipo de questão..
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Mensagem por Matheus Vilaça Qua 26 Mar 2014, 20:05

Faça a soma dos dez primeiros e subtraia do resultado a soma dos nove primeiros.


Exercicio de PA !!! %5CLARGE%5C%21%5C%5Cn_%7B10%7D%3DS_%7B10%7D-S_%7B9%7D%5C%5C%5C%5Cn_%7B10%7D%3D%203.10%5E2%20%2B%202.10%20-%20%283.9%5E2%20%2B%202.9%29%5C%5C%5C%5Cn_%7B10%7D%3D%2059
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Mensagem por "S.H" Qua 26 Mar 2014, 20:08

porque o 10º termo é igual a S10 - S9 ?
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Mensagem por Matheus Vilaça Qua 26 Mar 2014, 20:12

Pense um exemplo mais simples.
Se eu tenho três termos a1, a2 e a3.
A soma dos três primeiros é:
S3= a1 + a2 + a3

A soma soma dos dois primeiros é:
S2= a1 + a2

Assim, se fizermos S3 - S2 obteremos a3.
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Mensagem por "S.H" Qua 26 Mar 2014, 20:32

ai sim cara,desculpe a ignorância ai e muito obrigado pela explicação Very Happy
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Mensagem por ivomilton Qua 26 Mar 2014, 22:12

EEAR 2014,FOCO NA MISSÃO! escreveu:A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn= 3n² + 2n.O 10º termo dessa PA é ?

Tenho dificuldade nesse tipo de questão..
Boa noite,

Sn = 3n² + 2n
S10 = 3.10² + 2.10 = 320 ..... (I)

a10 = a1 + 9r ....................... (II)

Sn = (a1 + an).n/2
S10 = (a1 + a1+9r).10/2 = (2.a1 + 9r).5
S10 = 10.a1 + 45r ................ (III)

(III) = (I):
10.a1 +45r = 320 → simplificamos por 5, e fica:
2.a1 + 9r = 64 ..................... (IV)

Formando sistema entre (II) e (IV):
__a1 + 9r = a10 ................... (V)
2.a1 + 9r = 64 .................... (VI)

(VI) - (V):

-a1 - 9r = -a10
2a1 + 9r = 64
----------------
a1 = 64 - a10

a10 = 64 - a1

A equação (VI) é uma equação diofantina (uma só equação, duas incógnitas inteiras).
Iremos resolvê-la:
2.a1 + 9r = 64

a1 = (64 - 9r)/2 --> Separamos os quocientes inteiros dos fracionários:
a1 = (64 - 8r - r)/2 = 32 - 4r - r/2

Como a1 e r devem ser inteiros, obviamente também o quociente de r/2 deverá sê-lo!
Faremos, então:
r/2 = m
r = 2m

Fazendo, em a1, r=2m, fica:
a1 = (64 - 9.2m)/2 = (64 - 18m)/2
a1 = 32 - 9m

As incógnitas r e a1, além de inteiras, deverão ser positivas; portanto, vem:
_r →  2m > 0 →  m>0
a1 →  32 - 9m > 0 →  32 > 9m →  9m < 32 → m < 32/9 →  m < 3,... →  m ≤ 3

Façamos agora uma Tabela:
m __ a1 __ r
1 ___ 23 __ 2
2 ___ 14 __ 4
3 ____ 5 __ 6

Essa questão tem, portanto, 3 soluções:
a10 = a1 + 9r

1) 23 + 9.2 = 23 + 18 = 41
2) 14 + 9.4 = 14 + 36 = 50
3) _5 + 9.6 = _5 + 54 = 59

Gerando, pois, 3 PA's:

1) : 23 . 25 . 27. 29 . 31 . 33 . 35 . 37 . 39 . 41 → S = (23+41).10/2 = 64.5 = 320
2) : 14 . 18 . 22 . 26 . 30 . 34 . 38 . 42 . 46 . 50 → S = (14+50).10/2 = 64.5 = 320
3) : _5 . 11 . 17 . 23 . 29 . 35 . 41 . 47 . 53 . 59 → S = (_5+59).10/2 = 64.5 = 320



Um abraço.
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Mensagem por "S.H" Qua 26 Mar 2014, 22:18

Opaaa,outra forma de resolver muito boa tbm! Muito obrigado...
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