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Mensagem por Juliano N em Qua 05 Mar 2014, 19:12

Boa noite a todos!
Mostrei ao meu professor de matemática do cursinho pré-vestibular e até ele estava tendo problemas para resolver a mesma, é uma questão do ITA do ano de 1995.

(ITA 95)




Qual o conjunto a seguir é tal que sua intersecção com A dá o próprio A?







Resposta segundo gabarito: C
OBS: Desculpem esquecer essa parte importante do enunciado. Embarassed


Última edição por Juliano N em Qua 05 Mar 2014, 20:50, editado 3 vez(es)

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Mensagem por Elcioschin em Qua 05 Mar 2014, 20:02

Você esqueceu de postar o enunciado da questão: o que ele pede? É o domínio? É a imagem?

Para existir n! ----> n ε N ----> n >= 0

Para n >= 3 ----> sen(n!pi/6) = 0

n = 0 ---> A(0) = (-1)^0/0! + sen(0!.pi/6) = 1 + 1/2 = 3/2

n = 1 ---> A(1) = (-1)¹/1! + sen(1!.pi/6) = - 1 + 1/2 = = - 1/2

n = 2 ---> A(2) = (-1)²/2! + sen(2!.pi/6) = (1 + √3)/2

n = 3 ---> A(3) = = (-1)³/3! + sen(3!.pi/6) = - 1/6 + 0 = - 1/6

n = 4 ----> A(4) = 1/24
n = 5 ----> A(5) = - 1/120

etc
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Mensagem por Juliano N em Qua 05 Mar 2014, 20:59

@Elcioschin escreveu:Você esqueceu de postar o enunciado da questão: o que ele pede? É o domínio? É a imagem?

Para existir n! ----> n ε N ----> n >= 0

Para n >= 3 ----> sen(n!pi/6) = 0

n = 0 ---> A(0) = (-1)^0/0! + sen(0!.pi/6) = 1 + 1/2 = 3/2

n = 1 ---> A(1) = (-1)¹/1! + sen(1!.pi/6) = - 1 + 1/2 = = - 1/2

n = 2 ---> A(2) = (-1)²/2! + sen(2!.pi/6) = (1 + √3)/2

n = 3 ---> A(3) = = (-1)³/3! + sen(3!.pi/6) = - 1/6 + 0 = - 1/6

n = 4 ----> A(4) = 1/24
n = 5 ----> A(5) = - 1/120

etc
Desculpa, já corrigi o enunciado, obrigado por avisar Elcioschin. Vou ter mais atenção nos futuros tópicos.

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Mensagem por Elcioschin em Qui 06 Mar 2014, 09:15

A = [- 1/2, 0[ U ]0, 3/2]

O único conjunto no qual A está contido é o [-2, 2]
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Mensagem por Juliano N em Qui 06 Mar 2014, 18:28

@Elcioschin escreveu:A = [- 1/2, 0[ U ]0, 3/2]

O único conjunto no qual A está contido é o [-2, 2]
Desculpe Mestre Elcioschin, não consegui seguir seu raciocínio, você separou a equação que define o conjunto A em duas partes?

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Mensagem por Matheus Fillipe em Qui 06 Mar 2014, 19:04

A questão já existe aqui, com uma ótima resolução: https://pir2.forumeiros.com/t27904-ita-conjuntos

Só pra garantir, eu penso nessa questão assim. O termos (-1)^n /n! Varia entre valores negativos e positivos e quanto maior n menor é seu módulo. Observe: N=0 -->1 ,n=1-->-1, n=2-->1/2, n=3--->-1/6.
e vai só diminuindo. Sabemos que o termo que contem sen varia entre 1 e -1. Assim o máximo que poderia acontecer e que os números de A estivessem entre 2 e -2, o que já mata por eliminatória, mas isso nem acontece. Se substituir 0 e 1 achará x entre -1/2 e (1+V3)/2.
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Mensagem por Juliano N em Qui 06 Mar 2014, 20:08

@Matheus Fillipe escreveu:A questão já existe aqui, com uma ótima resolução: https://pir2.forumeiros.com/t27904-ita-conjuntos

Só pra garantir, eu penso nessa questão assim. O termos (-1)^n /n! Varia entre valores negativos e positivos e quanto maior n menor é seu módulo. Observe: N=0 -->1 ,n=1-->-1, n=2-->1/2, n=3--->-1/6.
e vai só diminuindo. Sabemos que o termo que contem sen varia entre 1 e -1. Assim o máximo que poderia acontecer e que os números de A estivessem entre 2 e -2, o que já mata por eliminatória, mas isso nem acontece. Se substituir 0 e 1 achará x entre -1/2 e (1+V3)/2.
Opa, nem me toquei de procurar a questão primeiro. Peço desculpas, obrigado Matheus e Elcioschin pela ajuda Very Happy

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Mensagem por Elcioschin em Qui 06 Mar 2014, 22:37

A solução do Anglo tem uma falha grave: ele considera que o domínio de x é:

- 1/2 < x < (1 + √3/2)

Isto NÃO é verdade porque:

1) a solução x = 0 NÃO serve pois nunca se obterá este valor

2) A solução 3/2 (para n = 0) não foi considerada

Notem então que a minha solução exclui o zero e considera o valor máximo 3/2
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Mensagem por mtskwlk em Seg 11 Set 2017, 11:02

@Elcioschin escreveu:A = [- 1/2, 0[ U ]0, 3/2]

O único conjunto no qual A está contido é o [-2, 2]

Caso tivesse uma alternativa com:

A = [-2,+∞)


Poderia marcá-la?
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Mensagem por alansilva em Qua 03 Abr 2019, 12:47

Por gentileza alguém poderia detalhar melhor a questão acima? Não entendi o intervalo (ITA 1995) Conjuntos Gif Neutral Neutral Neutral

____________________________________________
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Mensagem por Leo Consoli em Qua 03 Abr 2019, 14:01

Para valores de n maiores ou iguais a 3, (-1)^n/n! tera módulo sempre menor ou igual a 1/6.
n! é múltiplo de 6, logo sen(n!pi/6) é múltiplo de pi, logo vale 0.
Sabemos, entao, que para n maior ou igual a 3, a expressão terá módulo sempre menor a 1/6.
Para n menor do que 3 o menor valor possível é -1/2 e o maior 3/2.
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Mensagem por milton2121 em Qui 08 Ago 2019, 08:03

@Elcioschin escreveu:A solução do Anglo tem uma falha grave:

2) A solução 3/2 (para n = 0) não foi considerada

Notem então que a minha solução exclui o zero e considera o valor máximo 3/2
Élcio, acredito que "n" pode ser tanto 0 como não pode ser também, uma vez que há uma divergência de autores entre considerar 0 pertencente ou não aos números naturais: vai depender da bibliografia utilizada pela banca do concurso. 
O importante é que chegamos a resposta.  Very Happy
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Mensagem por Elcioschin em Qui 08 Ago 2019, 08:40

Concordo contigo.
Atualmente, a maioria dos autores considera o 0 como número natural. Eu concordo com a maioria.
Mas isto deveria estar explicitado no enunciado da questão.
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