Quadrilátero inscrito

As diagonais de um quadrilátero inscrito num círculo medem 20cm e 25cm e dois de seus lados opostos medem 15cm e 24cm. Calcular a medida do menor dos outros dois lados.

R: 7 cm.

Fiz Hiparco e cheguei em y=140/x. Sendo y o maior lado e x o menor. Porém não sei onde continuar. Obrigado!

Olá.

Do Teorema de Hiparco:

25/20 = (15*x + 24*y)/(15*y + 24*x) .:. 5/4 = (5*x + 8*y)/(5*y + 8*x) .:. 25y + 40x = 20x + 32y .:.
20x = 7y .:. x = 7y/20

Agora, do Teorema de Ptolomeu:

25*20 = 15*24 + x*y .:. 500 = 360 + (7y/20)*y .:. 140 = 7y²/20 .:. 140 * 20 = 7y² .:. 20 * 20 = y² .:.
y > 0, y = 20cm --> x = 7cm

Att.,
Pedro

Maurilo Silva escreveu:As diagonais de um quadrilátero inscrito num círculo medem 20cm e 25cm e dois de seus lados opostos medem 15cm e 24cm. Calcular a medida do menor dos outros dois lados.

R: 7 cm.

Fiz Hiparco e cheguei em y=140/x. Sendo y o maior lado e x o menor. Porém não sei onde continuar. Obrigado!

Boa noite, Maurilo.

Então você encontrou que o produto dos outros dois lados é igual a 140.
Correto, pois "o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos":
25*20 = 24*15 + xy
xy = 500 - 360
xy = 140

O número 140 pode ser decomposto em:
1*140
2*70
4*35
5*28
7*20
10*14

Fazendo o esboço do referido quadrilátero inscrito, com as diagonais medindo 25 e 20 e dois de seus lados opostos medindo 24 e 15, poderemos observar:

Um triângulo com lados 20, 15 e x, sendo que:
x > 20-15 (ou seja, x > 5)
x < 20+15 (ou seja, x < 35)

E outro triângulo com lados 24, 20 e y, em que:
y > 24-20 (ou seja, y > 4)
y < 24+20 (ou seja, y < 44)

Como as posições de x e de y foram arbitrariamente escolhidas, temos que o menor dos lados deve ser tanto maior que 5 como maior que 4.

Observando agora a tabela de decomposição dos possíveis fatores de 140, notamos que o menor valor, logo após o 4 e o 5 é o 7.

Assim, o menor valor que qualquer dos outros dois lados poderá ter é 7 cm.



Um abraço.

Que ótimas resoluções! Abraço.