Medida de ângulo

por Gustavo Gomes Sáb 01 Fev 2014, 19:21

Olá, Pessoal!

Na figura a seguir, o triângulo equilátero ABC e o pentágono regular ADEFG possuem lados de mesmo comprimento e estão em posição tal que as retas BC e GF são paralelas.
Quanto mede o ângulo ACD?

Medida de ângulo File

A resposta é 78º.

Considerei a medida dos ângulos internos do pentágono regular e do Triângulo equilátero; tentei prolongar os segmentos AC e GF e trabalhar com ângulos complementares e opostos pelo vértice, mas não consegui chegar no resultado.

Aguardo, grato.

por JuniorE Dom 02 Fev 2014, 12:10

Vamos desenhar outro triângulo equilátero ao lado deste, com as mesmas medidas (o desenho está rotacionado):

Medida de ângulo 03zi

Perceba agora o triângulo isósceles AED: seus ângulos da base valem $\frac{180^\circ-108^\circ}{2}=36^\circ$ . Logo o ângulo ADC vale $108^\circ -36^\circ=72^\circ$ . Com isso o ângulo $\beta$ , que é suplementar a esse, vale $108^\circ$ . Agora observe o vértice D: a soma dos ângulos com vértice em D deve valer $360^\circ$ , logo: $\gamma+60^\circ+60^\circ+108^\circ+108^\circ=360^\circ\Rightarrow \gamma=24^\circ$

Pela soma dos ângulos internos de EGD, $x+\theta=156^\circ$ , mas, como o triângulo EGD é isósceles, $x=\theta$ , portanto $x+x=156^\circ\Rightarrow \boxed{x=78^\circ}$

Espero ter ajudado, abraço.

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