Exercício Trigonometria livro Gelson Iezzi

(POLI 68) Se x e y satisfazem 0 < x < y < pi/2 e z= sen(x) - [tg(y) . cos(x)], então:
a)para cada y, z é uma função decrescente de x
b)para cada x, z é uma função decrescente de y
c)z pode ser nulo
d)z é sempre positivo
e)nenhuma das anteriores

Além de não conseguir resolver o exercício, não entendi muito bem o que ele quis dizer com "para cada y, z é uma função decrescente de x" ou "para cada x, z é uma função decrescente de y". Se alguém puder me ajudar com isso também, agradeço.

Vamos fazer y= 45º ----> tgy = 1 

Para este valor fixado de y ---> z = senx - cosx

Para x = 0º ----> z = 0 - 1 ---> z = - 1
Para x = 45º ---> z = √2/2 - √2/2 ---> z = 0
Para x = 90º ---> z = 1 - 0 ----> z = 1 
Para x = 135º ---> z = √2/2 - (-√2/2) ---> z = √2
Para x = 180º ---> x = 0 - 1 ---> z = - 1

Note que a função z é crescente de x = 0 até x = 135º
Ela é decrescente a partir de z = 135º
Ela é nula para x = 45º

Élcio, no gabarito que tenho aqui do livro, a resposta é a alternativa b. Mas é óbvio que z pode ser nulo. Creio então que exista algum erro no gabarito.

Abraços,
Pedro

Concordo contigo: o gabarito está errado.
Vamos testar a alternativa B, fazendo x = 45º

z = √2/2 - tgy.(√2/2) ----> z = (√2/2).(1 - tgy)


Para y = 0 ---> z = √2/2
Para y = 45º ----> z = 0
Para y = 60º ----> z = (√2/2).(1 - √3) ---> z < 0
Para y = 90º ----> z tende para - ∞


Para y = 135º ----> z = √2
Para z = 180º ----> z = √2/2
Para z = 225º ----> z = √2
Para z = 270º ----> z tende para + ∞


Entre x = 0 e x 90º e entre x = 90º e x = 180º a função é decrescente 
Entre x = 180º e x = 270º a função é crescente 

Exato, Élcio. Excelente post.

Abraços,
Pedro

Não entedi direito. Pela condição do exercício 0 < x < y < pi/2, x não poderia assumir os valores que o Elcioschin colocou (considerando y = 45°) certo?? Desculpem não entendi ainda...

O erro foi o seguinte, Élcio.

Fixou-se y = 45°, de forma que a expressão reduziu-se à: z = senx - cosx e depois utilizou-se x = 45°, o que está errado, pois 0 < x < y < pi/2

Concorda?

Concordo sim Pedro

Fazendo y = 45º o valor de x DEVERIA ser x < 45º
Assim nunca se obteria z = 0

Consequentemente, para x < 45º a função z é decrescente ----> Alternativa B

minha opinião coincide com a de vocês.

• (POLI 68) Se x e y satisfazem 0 < x < y < pi/2 e z= sen(x) - [tg(y) . cos(x)], então:
  

z = f(x,y)
z = sen(x) - tg(y).cos(x)
z = sen(x) - [sen(y)/cos(y)]*cos(x) ........................ sempre cos(x)≠0 ...e... cos(y)≠0
z = [sen(x).cos(y) - sen(y).cos(x)]/cos(y)
z = sen(x-y)/cos(y)



x e y estão confinados no 1º quadrante desde que y esteja acima de x e nenhum deles pode sequer tocar nos eixos do cos e do sen.
como 0 < x < y < pi/2, temos que -pi/2 < x-y < 0 e está confinado no 4º quadrante, então sen(x-y) < 0.
também temos sempre 0 < cos(y) < 1.

Analisando as alternativas:

a) para cada y, z é uma função decrescente de x
Fixando-se y num determinado ponto, x pode varrer o restante do quadrante; à medida em que x cresce, sen(x-y) também cresce (assume valores menos negativos). Lembrando que o denominador cos(y) está fixo e não varia, a razão sen(x-y)/cos(y) também cresce; portanto z é função crescente de x -----> FALSA


b) para cada x, z é uma função decrescente de y
fixando-se x, podemos perscrutar o restante do quadrante com y; à medida que y cresce, x-y cresce negativamente e sen(x-y) também; cos(y) também decresce, o que aumenta ainda mais a taxa de crescimento da razão sen(x-y)/cos(y) -- embora seja um crescimento negativo; portanto z é função decrescente de y -----> VERDADE

c) z pode ser nulo
0 < x < y < pi/2 -----> sempre temos sen(x-y) ≠ 0 ........e........ cos(y) ≠ 0
portanto, z jamais será nulo -----> FALSA

d) z é sempre positivo
0 < x < y < pi/2 -----> -pi/2 < x-y < 0 -----> sempre temos sen(x-y) < 0 ...e... cos(y) > 0 , portanto, z < 0 sempre -----> FALSA

e)nenhuma das anteriores -----> sem comentários.

alternativa B