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Olimpíada do Canadá 73

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Olimpíada do Canadá 73 Empty Olimpíada do Canadá 73

Mensagem por iaguete Seg 13 Jan 2014, 19:40

Determine todos os reais que satisfazem a equação |x-3|-|x-1|=x+1
Gabarito: -4,-1,3

Tentei fazer também, cheguei a achar -1,-3 e a condição de existência que é o x ser >=-1

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Olimpíada do Canadá 73 Empty Re: Olimpíada do Canadá 73

Mensagem por PedroCunha Seg 13 Jan 2014, 20:25

Veja:

x-3 = 0
x = 3

x -1 = 0
x = 1

Para x < 1:

-x + 3 - (-x + 1) = x + 1
-x + 3 + x - 1 = x + 1
-x + 2 = 1
x = 1

Para 1 < x < 3:

x - 3 - x + 1 = x + 1
-2 - x = 1
x = -3

Para x > 3:

x - 3 +x - 1 = x + 1
x - 4 = 1
x = 5

Testando:

|1-3| - |1-1| = 1 + 1
|-2| = 2
2 = 2 --> V

|-3-3| - |-3-1| = -3 + 1
|-6| - |-4| = -2
6 - 4 = -2
2 = -2 --> F

|5-3| - |5-1| = 5 + 1
2 - 4 = 6
-2 = 6 --> F

De acordo com o WolframAlpha, o seu gabarito está errado e o meu, correto.

Basta testar as respostas do seu gabarito para conferir o erro:

|-4-3| - |-4-1| = -4 + 1
|-7| - |-5| = -3
7 - 5 = -3
2 = -3 --> F

|-1-3| - |-1-1| = -1 + 1
|-4| - |-2| = 0
4 - 2 = 0
2 = 0 --> F

|3-3| - |3-1| = 3 + 1
-|2| = 4
-2 = 4 --> F

É isso.

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Mensagem por Elcioschin Seg 13 Jan 2014, 20:31

Deve haver algum erro, no enunciado ou na resolução:

Para x = - 4 ---> |- 4 - 3| - |- 4 - 1| = - 4 + 1 ---> 7 - 5 = - 3 ---> 2 = - 3 ---> absurdo

Para x = - 1 ---> |- 1 - 3| - |- 1 - 1| = - 1 + 1 ---> 4 - 2 =  0  ---> 2 = 0 ---> absurdo

Para x = 3 ---> |3 - 3| - |3 - 1| = 3 + 1 ---> 0 - 2 = 4 ---> - 2 = 4 ---> absurdo
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Mensagem por iaguete Ter 14 Jan 2014, 10:51

My bad pessoal! , sem querer escrevi um pedaço da equaçao de forma errada. 
|x+3|-|x-1|=x+1
Essa é a correta.


Consegui chegar ao -1, 3 , mas nao sei de onde surgiu esse -4.

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Olimpíada do Canadá 73 Empty Re: Olimpíada do Canadá 73

Mensagem por PedroCunha Ter 14 Jan 2014, 11:19

Nesse caso:

x + 3 = 0
x = -3

x - 1 = 0
x = 1

Para x < - 3:

-x - 3 - (-x + 1) = x + 1
-x - 3 + x - 1 = x  +1
-x - 4 = 1
x = -5

Para -3 < x < 1:

x + 3 - (-x+1) = x + 1
x + 3 + x - 1 = x + 1
x + 2 = 1
x = -1

Para  x > 1:

x + 3 - x + 1 = x + 1
-x + 4=  1
x = 3

Basta conferir para ver que -4 não satisfaz:

|-4+3| - |-4-1| = -4 + 1
|-1| -|-5| = -3
1 - 5 = -3
-4 = -3 --> F

Testando todas soluções que obtive, você verá que todas satisfazem a equação.

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Olimpíada do Canadá 73 Empty Re: Olimpíada do Canadá 73

Mensagem por Elcioschin Ter 14 Jan 2014, 13:40

E o valor x = - 4 NÂO atende a equação:

|- 4 + 3| - |- 4 - 1| = - 4 + 1

1 - 5 = - -3

- 4 = - 3 ---> Absurdo
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