Carro no parque de diversões - energia

Um carro em um parque de diversões se desloca sem atrito ao 
longo do trilho (figura 7.40). Ele parte do repouso no ponto A situado a uma altura h acima da 
base do círculo. Considere o carro como uma partícula. (a) Qual é o menor valor de h (em 
função de R) para que o carro atinja o topo do círculo (ponto B) sem cair? (b) Determine a velocidade, o componente radial da aceleração e o componente tangencial da aceleração dos passageiros quando o carro está no ponto C, que está na extremidade de um diametro horizontal.

Respostas:

a)(5/2)*R
b) velocidade: (3gR)^1/2
aceleração radial: 3g
aceleração tangencial: g



Imagem:

a) A velocidade no ponto mais alto do loop é dada por :

N + P = Fc  ==> N=normal / P = peso / Fc = centrípeta 

Nesse caso a normal tem que ser a mínima possível,por isso tende a zero.

Resulta : P = Fc ===> M.G= M V² / R ===> G = V²/R ===> V = sqrt G.R

Aplicando a energia mecânica : mgH = mv²/2 + mgh ( cancela as massas) ==> g.H = v²/2 + gh ===> H = v²/2 + 2gh/2g ==> H = v²/2g + h

Substituindo a velocidade,temos : H = (sqrt G.R)²/2G + 2 R ===> H=G.R/2G + 2R ===> H = R/2 + 2R = 5/2 . R ===> H>(ou igual) a 5/2.R

e a b?

Poderia enviar a imagem do exercício?

a) A altura mínima é aquela suficiente para o carro atingir o ponto B com a mínima velocidade possível, para isso ocorrer a força normal em B deve ser nula, então a força peso é a resultante centrípeta no ponto B:
FC = P
m.vB²/R = m.g
vB² = R.g

Pela conservação da energia mecânica:
ECA + EPA = ECB + EPB
m.vA²/2 + m.g.h = m.VB²/2 + m.g.2R
h = R/2 + 2R
h = 5R/2

b) Pela conservação da energia mecânica:
ECA + EPA = ECC + EPC
m.vA²/2 + m.g.h = m.VC²/2 + m.g.R
g.h = VC²/2 + R.g
2.g.h = VC² + 2.R.g
VC² = 2.g.h - 2.R.g
VC² = 2.g.(h - R)

Se considerarmos h o resultado obtido no item a:
VC² = 2.g.(5R/2 - R)
VC² = 2.g.(3R/2)
VC² = 3.R.g
VC = √3Rg

A aceleração radial é a aceleração centrípeta:
ac = VC²/R
ac = 3Rg/R
ac = 3g

Aceleração tangencial é a da gravidade, pois é a força peso que puxa o carro para baixo e na direção vertical, então pela segunda lei de Newton:
Força resultante na vertical = P
m.a = m.g
a = g
a = at = g