IME CG - 1997 - Polinômios e Complexos

por PedroCunha Sáb 11 Jan 2014, 12:24

Olá, amigos. Trago a seguinte questão:

Determine o resto da divisão do polinômio

$IME CG - 1997 - Polinômios e Complexos Mathtex$ por $IME CG - 1997 - Polinômios e Complexos Mathtex$ onde $IME CG - 1997 - Polinômios e Complexos Mathtex$ é um número natural.

Spoiler:

Forte abraço,
Pedro

por megatron0000 Sáb 11 Jan 2014, 12:49

De acordo com o algoritmo de Euclides, estendido aos polinômios, o resto $r\left( x \right)$ da divisão e o quociente $Q\left( x \right)$ são tais que

$\eqalign{ & {\left( {\cos \left( \varphi \right) + x.sen\left( \varphi \right)} \right)^n} = Q\left( x \right).\left( {{x^2} + 1} \right) + r\left( x \right) \cr & \cr}$

Em que o resto é um polinômio de grau 1, isto é, tem a forma

$r\left( x \right) = {a_1}x + {a_2}$

Agora, façamos x=i (a unidade imaginária) no algoritmo:

${\left( {\cos \left( \varphi \right) + i.sen\left( \varphi \right)} \right)^n} = Q\left( i \right).\left( {{i^2} + 1} \right) + r\left( i \right)$

Lembrando:

${\left( {\cos \left( \varphi \right) + i.sen\left( \varphi \right)} \right)^n} = cis{\left( \varphi \right)^n} = \cos \left( {n.\varphi } \right) + i.sen\left( {n.\varphi } \right)$

e

$\left( {{i^2} + 1} \right) = \left( { - 1 + 1} \right) = 0$

Temos

${\left( {\cos \left( \varphi \right) + i.sen\left( \varphi \right)} \right)^n} = Q\left( i \right).\left( {{i^2} + 1} \right) + r\left( i \right)$

$\cos \left( {n.\varphi } \right) + i.sen\left( {n.\varphi } \right) = r\left( i \right)$

Falta só comparar esse resultado com a forma polinomial de r(x):

$r\left( x \right) = {a_1}x + {a_2}$

$\therefore$

$r\left( i \right) = {a_1}i + {a_2} = \cos \left( {n.\varphi } \right) + i.sen\left( {n.\varphi } \right)$

De onde conclui-se

${a_1} = sen\left( {n.\varphi } \right)$

e

${a_2} = \cos \left( {n.\varphi } \right)$

Por isso,

$r\left( x \right) = sen\left( {n.\varphi } \right)x + \cos \left( {n.\varphi } \right)$