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Triângulo Reto.

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Mensagem por georges123 Sáb 04 Jan 2014, 16:52

Seja ABC um triângulo retângulo isósceles onde AB = AC = A.
Considere que G é o baricentro e I é o incentro desse triângulo.
Determine, em  função  de a, o valor GI.
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Mensagem por raimundo pereira Sáb 04 Jan 2014, 18:14

Triângulo Reto. 24zj2wj
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Mensagem por georges123 Sáb 04 Jan 2014, 18:37

Raimundo acho que o senhor cometeu um pequeno equívoco o lado do triângulo é A
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Mensagem por Medeiros Sáb 04 Jan 2014, 18:42

Triângulo Reto. Kq8x



Como ∆ABC é isósceles de base BC, temos que AD é mediana de BC e também é a bissetriz do ∠BAC.
Traçamos uma mediana do lado AB para marcar o baricentro G;
e uma bissetriz do vértice C para marcar o incentro I.

área do triângulo ret. ABC: ------> S∆ABC = a²/2

semiperímetro do ∆ABC:


Mas,



AD = a√2/2 , pois AD vale a metade da diagonal do quadrado onde se insere o triângulo.

Propriedade do baricentro: -----> DG = (1/3)AD -----> DG = a√2/6

GI = DI - DG
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Mensagem por georges123 Sáb 04 Jan 2014, 18:45

Sempre que o triângulo for isósceles terei os pontos notáveis colineares ?
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Mensagem por Medeiros Sáb 04 Jan 2014, 18:54

georges123 escreveu:Sempre que o triângulo for isósceles terei os pontos notáveis colineares ?
Se vc se refere aos pontos G e I, neste caso, SIM.
Porque como foi dito acima, AD é simultaneamente mediana e bissetriz.
Logo, a interseção de outras medianas ou bissetrizes com AD ficam, obrigatoriamente, sobre AD.
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Mensagem por raimundo pereira Sáb 04 Jan 2014, 18:55

Olá georges,

Você está certo , para falicitar os cálcular trabalhei com 2a quando o probl. deu a, (pisei na bola). 
O amigo Medeiros já resolveu na mesma linha de pensamento e com o valor correto.
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Mensagem por georges123 Sáb 04 Jan 2014, 18:57

Não esquenta. Obrigado a ambos.
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Mensagem por georges123 Sáb 04 Jan 2014, 19:00

AD também é a altura e o segmento da mediatriz certo? então o circuncentro e o ortocentro também estarão neste segmento?
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Mensagem por Medeiros Sáb 04 Jan 2014, 19:13

georges123 escreveu:AD também é a altura e o segmento da mediatriz certo? então o circuncentro e o ortocentro também estarão neste segmento?
Sim. Só que neste caso particular em que o triângulo, além de isósceles, é também retângulo temos:
- ortocentro, encontro das alturas, é próprio ponto A;
- circuncentro, encontro das mediatrizes, é o ponto D.
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