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Area e volume da esfera

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Area e volume da esfera Empty Area e volume da esfera

Mensagem por Marchetti_ Sex 27 Dez 2013, 00:16

Você poderia provar que a área da esfera é 4*pi*R² ?

E que o volume é 4/3*pi*R³ ? Poderia provar?

abraços

Marchetti_
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Area e volume da esfera Empty Re: Area e volume da esfera

Mensagem por Euclides Sex 27 Dez 2013, 01:32

Isso pode ser provado por Cálculo:

Volume de um sólido gerado pela revolução de uma curva em torno do eixo x:



uma circunferência centrada em (0,0) produz uma esfera ao rotacionar no eixo x. A curva no primeiro quadrante produz meia esfera:



Para encontrar a área, basta derivar o volume em R


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Mensagem por Elcioschin Sex 27 Dez 2013, 09:42

Outro modo de provar o volume, sem o uso de cálculo integral é através do Princípio de Cavalieri
Pesquise em qualquer livro/apostila de Geometria ou mesmo na internet
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Mensagem por Matheus Fillipe Sex 27 Dez 2013, 13:12

Outro método que admiro foi o empregado por Arquimedes, não deixe de conferir o blog também é ótimo: http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2010/12/arquimedes-e-o-volume-da-esfera.html
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Mensagem por Euclides Sex 27 Dez 2013, 14:06

Elcioschin escreveu:Outro modo de provar o volume, sem o uso de cálculo integral é através do Princípio de Cavalieri
Pesquise em qualquer livro/apostila de Geometria ou mesmo na internet


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Mensagem por Medeiros Sáb 04 Jan 2014, 01:51

Marchetti_,
também sem usar Cálculo e tendo como já provado o volume da esfera através do Princípio de Cavalieri, conforme lembrou o Elcioschin, podemos obter a superfície da esfera.

Sabemos que o volume de uma pirâmide é 1/3 do produto da área da base pela sua altura.

Considere um pedaço pequeno e "quadrangular" da superfície da esfera. OK, esse pedaço é côncavo. Mas façamos esse pedaço MUITO pequeno, de tal forma que a concavidade "desapareça". Seja S1 a área desse pedaço.

Tomando a pirâmide de base S1 e vértice no centro da esfera, ela terá um volume
V1 = (1/3).S1.R
pois a altura da pirâmide é o próprio raio da esfera.

O volume da esfera (V) será a soma do volume das infinitas pirâmides (pois que há infinitas bases minúsculas) iguais a V1. Então,

V = V1 + V2 + V3 + ... + Vn

V = (1/3).R.[S1 + S2 + S3 + ... + Sn]

porém
S1 + S2 + S3 + ... + Sn = S
onde S é a própria superfície da esfera.

então
V = (1/3).R.S

mas já sabemos que V = (4/3).pi.R³
Então,

(4/3).pi.R³ = (1/3).R.S ------> S = 4.pi.R²

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um pouco de honestidade: para falar a verdade, esse raciocínio é a aplicação de infinitésimos e cálculo integral, só que a gente nem sente.
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