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Velocidade escalar instantanea no gráfico sxt

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Mensagem por zau123 Sáb 14 Dez 2013, 15:20

No final do capitulo de MRUV no livro topicos de fisica,este assunto é abordado no apendice, mas nao consigo entender a explicaçao,alguem poderia me explicar?
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Velocidade escalar instantanea no gráfico sxt Empty Re: Velocidade escalar instantanea no gráfico sxt

Mensagem por ChaosTheory Sáb 14 Dez 2013, 15:48

Vou tentar te explicar, zau123. Preste atenção no gráfico:

Velocidade escalar instantanea no gráfico sxt 3wn3

Suponha que o parábola seja referente a gráfico s x t de uma partícula, de forma que s = t². Considere o ponto A, que corresponde a posição 1m no instante 1s. Agora vem a pergunta: qual a velocidade dessa partícula no instante t = 1s? Sabemos que:

Vm = ∆S/∆t


Agora pensemos. Qual o inconveniente da equação da velocidade média? Simples: ela requer duas posições e dois instantes, certo?


Vm = (S - So)/(t - to)


Como fazer, então, se temos somente uma posição (1m) e um instante (1s)? A solução é contraditória: vamos usar duas posições e dois tempos. Esta parte é complicada, eu sei, mas vou tentar continuar.


Imagine comigo que consideramos o espaço s' = 4m no instante t' = 2s. Podemos calcular a velocidade média:


Vm = 3 m/s


Agora imaginemos o espaço s'' = 1,2 m no instante t'' = 1,09s. Podemos novamente calcular a velocidade média:


Vm' = 2,22 m/s


Vejamos: que valor está mais próximo da velocidade instantânea? Ora, Vm', pois usamos tempos e posições mais próximas do tempo e posição para o qual queremos calcular a velocidade instantânea.


Agora, vamos usar o s₃ = 1,0001 m e o t₃ = 1,00004 s. Calculando-se a velocidade média nesse caso, o resultado é um valor bem próximo de 2 m/s, que, pela fórmula do MRUV, você pode conferir que é a resposta certa.


Contudo, surge um problema. Como saber qual valor seria suficientemente pequeno para conseguirmos calcular a velocidade em um dado instante? Podemos contornar o problema imaginando que precisamos de uma variação de espaço e tempo, para calcular a velocidade, que seja próxima de zero. Na verdade, muito próxima. Infinitamente próxima, de preferência. Assim sendo, a velocidade instantânea é seria:


V = lim (∆t -> 0) ∆S/∆t


Pois, se a variação de tempo é infinitamente pequena, a variação de espaço também é. Esse é o artifício matemático fundamental para calcular, por exemplo, a velocidade de uma partícula que se mova s = sen (t²), por exemplo. Se você está no ensino médio, eu diria que basta compreender o conceito de velocidade instantânea. Mas se ficar curiosos sobre a matemática envolvida, você facilmente acha algum pdf na internet explicando limites e derivadas.


Espero ter ajudado. Qualquer coisa, insista em perguntar novamente. Toda e qualquer dúvida vale esses esforço! Wink
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Velocidade escalar instantanea no gráfico sxt Empty Re: Velocidade escalar instantanea no gráfico sxt

Mensagem por zau123 Sáb 14 Dez 2013, 16:45

Vlw pela explicação,mas o livro utiliza um método de usar uma reta secante no gráfico e do coeficiente angular,nessa parte que nao consigo entender como calcular
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Mensagem por ChaosTheory Sáb 14 Dez 2013, 18:09

Na verdade, a definição usando a reta secante é a mesma que passei em outras palavras.

Consideremos o ponto que usei no gráfico antes: A(1,2). Agora imaginemos um ponto genérico sobre a mesma curva B(k,k²). Podemos definir a reta que passa por eles a partir da geometria analítica:

2 - k² = m(1 - k) => m = (2 - k²)/(1 - k)

Mas se você notar, k é a mesma coisa que o tempo. Portanto, k² é o espaço. Assim sendo, o coeficiente angular da reta é:

m = ∆S/∆t


Para achar a velocidade instantânea, você faria o ponto genérico B tender ao ponto A. Ou seja, aproximaria os dois infinitamente. Se o ponto B chega muito perto de A, a secante AB começara a se tornar a tangente do ponto A. E, fisicamente, a tangente ao gráfico de s x t em um ponto (t',s') é a velocidade instantânea desse instante t'.


Mas basta notar que usando o método da secante você chega no mesmo caso você tivesse usado a definição de fazer a variação de espaço tender a zero.
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