Como se resolve?

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Mensagem por Hades em Dom 11 Abr 2010, 18:12

Na figura, o diâmetro AB mede 8 raiz quadrada de 3e a corda CD forma um ângulo de 30º com AB. Se E é ponto médio de AO, onde O é o centro do círculo, a área da região hachurada, mede:

Como se resolve? 111mx

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Mensagem por Elcioschin em Dom 11 Abr 2010, 21:56

AÊC = BÊD = 30º

Propriedade do ângulo de Vértice Interno:

arco AC + arco BD = 2*30º -----> Arco (AC + BD) = 60º

A área pedida é a área de um setor circular de 60º de um círculo de raio 4*V3

S = pi*r²/6 ----> S = pi*(4*V3)²/6 ----> S = 8*pi u.a.
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Mensagem por Hades em Seg 12 Abr 2010, 08:04

Vc fez como se o ponto E fosse o centro do círculo e não é! é apenas o ponto médio do raio OA. A resposta da questão é 8.Pi-3 raiz quadrada de 3. Esse problema parece ingênuo, mas não é!

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Mensagem por Elcioschin em Seg 12 Abr 2010, 10:33

Hades

Eu NÂO considerei E como centro do círculo na minha demonstração.
Esta propriedade do Ângulo de Vértice Interno vale para quaisquer duas cordas que se interceptam no interior de uma circunferência (uma das corda pode ser um diâmetro).
Vou provar:

Vou chamar de a o arco AC e de b o arco BD.

No triângulo EAD:

^DAE = b/2 ----> Propriedade do Ângulo Inscrito

^ADE = a/2 ----> idem

AÊC é externo ao triângulo EAD -----> AÊC = a/2 + b/2 ----> AÊC = (a + b)/2

AÊC é o ângulo entre as duas cordas do enunciado ----> AÊC = 30°

30° = (a + b)/2 ----> a + b = 60º

Logo, os dois arcos a, b equivalem a um arco de 60º

Como consequência, a área hachurada é a área de um setor circular de 60º de um círculo de raio 4*V3:

S = pi*r²*(60º/360º) ----> S = pi*r²/6 ----> S = pi*(4*V3)²/6 ----> S = 8*pi

Sugiro que você:

a) Dê uma lida na teoria sobre Ângulo Inscrito e Ângulo de Vértice Interno.

b) Acompanhe a minha solução, para verificar se minhas afirmações correspondem aos teoremas citados.

c) Verique meus cálculos e aponte algum eventual erro.

Lembre-se também, que muitos gabaritos de livros ou apostilas estão errados e pode ser este o caso do seu problema.
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Mensagem por Hades em Seg 12 Abr 2010, 10:36

Cara, eu já vi essa resolução aqui e a resposta era 8 Pi- 3Raiz quadrada de 3, esse problema tem pegadinha. Pedi ajuda ao Euclides também! Assim que achar te falo.

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Mensagem por Euclides em Seg 12 Abr 2010, 12:05

Observem a figura abaixo:

Como se resolve? Trerg

considerem inicialmente CD passando pelo centro do círculo marcando dois setores circulares de 30 graus cada um (em amarelo claro). Ao deslocar-se CD para a sua posição real, vamos retirando área na parte de baixo e acrescentando na parte de cima. A diferença entre acréscimo e decréscimo é duas vezes o triângulo retângulo em vermelho. A área procurada é duas vezes a áres de um setor circular de 30 graus mais o dobro da área do triângulo.


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Mensagem por Convidado em Dom 03 Mar 2019, 13:17

O colega brasileiro312 passará por aqui. Motivo: http://pir2.forumeiros.com/t157069-colegio-naval-1984-1985

Tem uma edição melhor da questão postada em 2017 e também resolvida por Medeiros.

http://pir2.forumeiros.com/t135881-a-area-da-regiao-hachurada

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Mensagem por Medeiros em Dom 03 Mar 2019, 18:34

é por isso que considero o Qwertus o vigia do fórum com olhos de lince -- ele não deixa passar uma. Acho ótimo pra organização.

e graças a ele percebo que minha resposta em 2017 é praticamente igual à do Euclides em 2010, a qual ainda não tinha visto
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