Intervalos

Como eu posso calcular para x, sendo que x seja maior igual a 0 e menos igual a pi?
f(x) = cos x + cos²x - 1/2

Seu enunciado está errado, pois você não mostrou uma equação (e sim uma função). 

Para escrever certo o intervalo, ou use >= ou =< ou então use a tabela ao lado SÍMBOLOS ÚTEIS

Sabendo-se que cos (2x) = cos² x – sen² x, para quais valores de x a função f(x) = cos x + 1/2 . cos (2x) assume seu valor mínimo no intervalo 0 ≤ x ≤ 2∏?

Agora sim. Veja:

f(x) = cos x + 1/2 * (cos(2x))
f(x) = cosx + 1/2 * (2cos²x - 1)
f(x) = cos²x + cosx - 1/2

O valor mínimo atingido por f(x) é quando cosx = -1/2, ou seja, quando x = 2pi/3 ou x = 4pi/3

f(2pi/3) = cos² 2pi/3 + cos 2pi/3 - 1/2
f(2pi/3) = (-1/2)² -1/2  -1/2
f(2pi/3) = 1/4 -1
f(2pi/3) = (1 - 4)/4
f(2pi/3) = f(4pi/3) = -3/4

Att.,
Pedro

*Outra maneira:

f(x) = cos²x + cosx - 1/2

Valor mínimo: -Delta/4a = -3/4

Igualando:

cos²x + cosx - 1/2 =-3/4
cos²x + cosx -1/2 + 3/4
cos²x + cosx  + 1/4 = 0
cosx = -1 + 0/2 = -1/2 -->  x = 2pi/3 + 2kpi ou x = 4pi/3 + 2kpi --> Como temos o intervalo 0 ≤ x ≤ 2pi, ficamos com x = 2pi/3 ou x = 4pi/3

Pedro

f(x) = cos x + 1/2 * (cos(2x))
f(x) = cosx + 1/2 * (2cos²x - 1)
f(x) = cos²x + cosx - 1/2

Corrigido. Obrigado pela observação.