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Função logarítmica - UFGO-adaptado

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Mensagem por dudsliver1 Ter 03 Dez 2013, 02:34

Considerando-se as funções  , com 0 < n ≠ 1. Assim, é falsa a afirmação:


a) Se n > 1, então ambas as funções são crescentes.
b) As funções compostas f(g(x)) e g(f(x)) são iguais.
c) O domínio de f é o conjunto imagem de g.
d) Se 0 < n < 1, então a equação f(x) = g(x) possui solução.


gabarito: b


- fiquei com dúvida, pois na alternativa B, ficaria: 



- na alternativa A tbm achei verdade

- na alternativa C achei falsa, pois no domínio de f(x) seria os números reais, e a imagem de g(x) por se tratar de um logarítmo, é restrita.

- a alternativa D eu não consegui desenvolver

agradeço quem puder ajudar =]

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Mensagem por PedroCunha Ter 03 Dez 2013, 09:14

Veja:

Para a alternativa a, concordamos que seja verdadeira.

Para a alternativa b:

f(g(x)) = n^{log_n x} = x
g(f(x)) = log_n (n^x) = x

Para a alternativa c:

Como do enunciado temos 0< n# 1, o domínio de f(x) passa a ser
 D {(n,x) e R²/0 < n #1} --> ]0, +օօ] - 1 . I imagem de g(x) é:

C.E.: 0 < n # 1, x # 0 --> ]0,+օօ] - 1


Para a alternativa d:


Tentei analisar os gráficos e até desenvolver a expressão: não creio que exista solução. No entanto, segundo um gabarito que encontrei, essa questão era de V ou F e a resposta era V-V-V-V. (Caso for tentar resolver essa alternativa, lembre-se de que como 0 < n < 1, ambas as funções passam a ser decrescentes)


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Mensagem por Elcioschin Ter 03 Dez 2013, 11:03

Alternativa D

Desenhem o gráfico para um valor qualquer de n no intervalo, por exemplo n = 1/2

a) f(x) = (1/2)^x ----> Passa por A(0, 1) e B(1. 1/2) ---> Decrescente (2º e 1º quadrantes)

g(x) = log[1/2](x) ----> Passa por C(1/2, 1) e D(1. 0) ---> Decrescente (1º e 4º quadrantes)

Elas se cruzam no intervalo 1/2 < x < 1 (x ~= 0,6) ---> Alternativa verdadeira
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Mensagem por PedroCunha Ter 03 Dez 2013, 11:20

Obrigado pela ajuda, Élcio.
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Mensagem por dudsliver1 Ter 03 Dez 2013, 16:41

hmmmm... Entendi, obrigado pedro e elcio =]

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