Espaço e subespaço vetorial

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Espaço e subespaço vetorial

Mensagem por gledsonmelotti em Qua 27 Nov 2013, 10:16

Como resolver os seguintes exercícios:
1) Seja V o espaço das matrizes 2X2 sobre R, e seja W o subespaço gerado por por
[1 -5; -4 2], [1 1; -1 5]; [2 -4; -5 7]; [1 -7, -5 1]. Encontre uma base, e a dimensão de W.

2) Considere o sistema linear
2x1 + 4x2 -6x3 = a
x1 - x2 + 4x3 = b
0  + 6x2 - 14x3 = c

Seja W = {(x1,x2,x3) pertence a R^3: (x1, x2, x3) é solução do sistema}. Isto é W é o conjunto solução do sistema.
a) Que condições devemos impor a "a", "b", "c" para que W seja subespaço vetorial de R^3.
b) Nas condições determinadas em a) encontre uma base para W.
c) Que relação existe entre a dimensão de W e o grau de liberdade do sistema? Seria este resultado válido para quaisquer sistemas homogêneos?

Seja U subespaço de R^3, gerado por (1, 0, 0) e W subespaço gerado por (1, 1, 0) e (0, 1, 1). Mostre que R^3 é soma direta de U com W (soma de U+V e U interseção com W).

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Re: Espaço e subespaço vetorial

Mensagem por Giiovanna em Qui 28 Nov 2013, 08:39

Oi 

Lembre-se: Poste uma questão por tópico!

1) Basta verificar quais desses elementos do conjnto gerador são L.I. Note que se A,B,C.D são vetores tais que D é combinação linear de A,B,C, então

Span{A,B,C,D} = span{A,B,C}

2) Deve-se resolver o sistema em função de a,b,c

3) Deve-se mostrar que todo vetor de R^3 pode ser escrito de uma maneira única como a soma de elementos de U e W. Basicamente, como uma união dos geradores (span) de cada um desses conjuntos é uma base de R^3 (verifique!), então R^3 será soma direta)

Claramente, a intersecção de U e W é vazia.
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Re: Espaço e subespaço vetorial

Mensagem por gledsonmelotti em Qui 05 Dez 2013, 08:01

Ok, muito obrigado.

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Re: Espaço e subespaço vetorial

Mensagem por RaoChico em Qua 08 Jul 2015, 20:21

Alguém tem uma solução para a "b" e a "c" da numero dois que o colega acima perguntou??

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Re: Espaço e subespaço vetorial

Mensagem por Johannes em Dom 03 Abr 2016, 14:36

Na questão 1 como eu faço pra saber que o D é combinação linear de A,B e C?
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Re: Espaço e subespaço vetorial

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