Operação com frações

por FISMAQUI Ter 12 Nov 2013, 09:32

Efetue: 2/3 + 4/9 + 6/27 + 8/81 + 10/243 + ...
OBS.: Não sei do gabarito

por **ivomilton** Ter 12 Nov 2013, 21:00

marguiene escreveu:Efetue: 2/3 + 4/9 + 6/27 + 8/81 + 10/243 + ...
OBS.: Não sei do gabarito

Boa noite,

A soma dos termos dessa série infinita é igual a 3/2, ou seja, 1,5.
Ver link do Wolframalpha, abaixo:
http://splashurl.com/q2elo58

Um abraço.

por PedroCunha Ter 12 Nov 2013, 21:51

Olá!

O companheiro IvoMilton já lhe mostrou o resultado. Vou lhe mostrar uma maneira de resolver esse tipo de exercício.

Veja que no numerador temos uma P.A. e no denominador temos uma P.G.. O truque para resolver esse tipo de exercício é multiplicar tudo pela razão da P.G. e depois subtrair a soma. Veja:

$\\S = \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \frac{6}{27} + \frac{8}{81} + \frac{10}{243} + \dots \\\\S = \frac{2}{3} + \frac{4}{3^2} + \frac{6}{3^3} + \frac{8}{3^4} + \frac{10}{3^5} + \dots \\\\3S = 2 + \frac{4}{3} + \frac{6}{3^2} + \frac{8}{3^3} + \frac{10}{3^4} +\frac{12}{3^5} \dots \\\\3S - S = 2 + \frac{2}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{2}{3^3} + \frac{2}{3^4} + \frac{2}{3^5} + \dots \therefore \\\\2S = 2 + 2 \cdot \underbrace{(\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{3^5} \dots)}_{\text{P.G. Infinita}} \therefore \\\\ 2S = 2 + 2 \cdot \left(\frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} \right) \therefore 2S = 2 + 2 \cdot \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} \therefore 2S = 3 \therefore S = \frac{3}{2}$

É isso.

Att.,
Pedro

por FISMAQUI Ter 12 Nov 2013, 22:32

Muito obrigado Pedro, Me tirou de um sufoco

por FISMAQUI Ter 12 Nov 2013, 22:33

Muito obrigado Ivo Milton.

por PedroCunha Ter 12 Nov 2013, 22:46

Às ordens Marguiene!

Só complementando: esse 'truque' que utilizei para resolver a questão pode ser utilizado sempre que tivermos uma sequência P.A.-P.G. (P.A. no numerador, P.G. no denominador).

Abraços!

por **ivomilton** Qua 13 Nov 2013, 11:06

PedroCunha escreveu:Às ordens Marguiene!

Só complementando: esse 'truque' que utilizei para resolver a questão pode ser utilizado sempre que tivermos uma sequência P.A.-P.G. (P.A. no numerador, P.G. no denominador).

Abraços!

Olá, Pedro, bom dia!

Mais um artifício que eu não conhecia: vivendo e aprendendo...
Muito obrigado.

Um abraço.

por PedroCunha Qua 13 Nov 2013, 11:12

Bom dia, Ivo!

Esse foi um truque que aprendi com um membro do TutorBrasil, chamado TheBlackMamba. Ele é fera.

Vou colocar aqui um link para uma questão na qual ele emprega esse artifício:

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/matematica-ime-ita/simulado-espcex-progressao-geometrica-t33487.html

Abraços,
Pedro

por **ivomilton** Qua 13 Nov 2013, 11:27

PedroCunha escreveu:Bom dia, Ivo!

Esse foi um truque que aprendi com um membro do TutorBrasil, chamado TheBlackMamba. Ele é fera.

Vou colocar aqui um link para uma questão na qual ele emprega esse artifício:

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/matematica-ime-ita/simulado-espcex-progressao-geometrica-t33487.html

Abraços,
Pedro

Bom dia, Pedro!

Muito obrigado pelo envio do link.
Realmente, é um artifício muito proveitoso para casos desse tipo.

Abraços.