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desafio de polinômios

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Mensagem por pvniciu Dom 03 Nov 2013, 19:24

Obrigado, pessoal!


Última edição por pvniciu em Seg 04 Nov 2013, 11:45, editado 1 vez(es)

pvniciu
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Mensagem por Elcioschin Dom 03 Nov 2013, 19:48

Polinômios é assunto do Ensino Médio
Porque, então, você postou erradamente no fórum do Ensino Fundamental ????

Seja P(x) = ax^4 + bx³ + cx² + dx + e ----> São 5 incógnitas

P(-1) = 0
P(1) = 240
P(2) = 240
P(3) = 240
P(4) = 240

Tens 5 equações

Agora é contigo !!!!
Levando em conta que você estuda no Ensino Superior, vai ser "moleza"
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Mensagem por Wilson Calvin Dom 03 Nov 2013, 19:49

não vou acrescentar nada ao tópico. Parabéns pelos 15000 post Mestre cheers
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Mensagem por Elcioschin Dom 03 Nov 2013, 20:00

WIlson Calvin

Agora você me surpreendeu: Não sabia que, exatamente com este tópico, eu tinha atingido tal marca. Também, já são mais de 4 anos de fórum.
Obrigado pela lembrança!!!
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Mensagem por Convidado Dom 03 Nov 2013, 20:04

Elcio, sem querer perder o foco do tópico, pode respoder a minha dúvida Mestre Elcio, no tópico do Trapézio?Very Happy

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Mensagem por Elcioschin Dom 03 Nov 2013, 20:07

Já não sei mais qual tópico é este
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Mensagem por PedroCunha Dom 03 Nov 2013, 20:07

Seja o polinômio P(x) = ax^4 + bx^3 +cx^2 + dx + e

Se ele é divisível por x + 1, -1 é raiz. Temos então:

a * (-1)^4 + b * (-1)^3 + c * (-1)^2 + d * (-1) + e = 0
a -b + c - d + e = 0


Fazendo o mesmo com os outros temos:


a + b + c + d + e = 240
16a + 8b + 4c + 2d + e = 240
81a + 27b + 9c + 3d + e = 240
256a + 64b + 16c + 4d + e = 240


Montando o sistema e resolvendo-o:




\\\begin{cases} a -b + c - d + e = 0 \dots I \\a + b + c + d + e = 240 \dots II \\16a + 8b + 4c + 2d + e = 240 \dots III \\81a + 27b + 9c + 3d + e = 240 \dots IV \\256a + 64b + 16c + 4d + e = 240 \dots V \\ \end{cases}\\\\\text{Fazendo I+ II}:\\\\2a + 2c + 2e = 240 \therefore a + c + e = 120\\\\\text{Substituindo VI em II}:(a + c + e) + b + d = 240 \therefore b = 120 - d \dots VII\\\\\text{Substituindo VI e VII em III}:\\\\16a + 8b + 4c + 2d + e = 240 \therefore 15a + 7b + 3c + d + (a +b + c + d +e) = 240 \therefore 15a + 840 - 7d + 3c + d = 120 \\\\ \therefore 15a + 3c = 6d -720 \dots VIII \\\\ \text{Substituindo VIII, VII em IV:\\\\ 81a + 27b + 9c + 3d + e = 240 \therefore (45a +9c) + 36a + 27b + 3d + e = 240 \\\\ \therefore 18d - 2160 + 36a + 3240 - 27d + 3d + e = 240 \therefore 36a + e - 6d = -840 \dots IX \\\\ \text{Trabalhando com V:}\\\\ 256a + 7680 - 64d + 16c + 4d + e = 240 \therefore 256a -60d + 16c +e = -7440 \\\\ \therefore (36a + e - 6d) + 220a - 58d + 16c = -7440 \therefore 220a -58d + 16c = -6600 \dots X \\\\ \text{Montando um novo sistema:}\\\\\begin{cases}a + c + e = 120 \\b = 120 - d \\15a + 3c = 6d - 720 \\36a + e - 6d = -840 \\220a - 58d + 16c = -660 \\\end{cases}\\\\\text{Resolvendo esse sistema, encontramos:}\\\\a = 708 \\b = -3570 \\c = 3600 \\d = -3690 \\e = -4188 \\\\\\\text{Portanto } P(0) = -4188
Ufa!

É isso.
 

Att.,
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Mensagem por pvniciu Dom 03 Nov 2013, 20:12

Na verdade, apresentei a dúvida pq achei que a resolução por sistema seria muito trabalhosa. Procurei o fórum por uma solução criativa e mais simples.

Enfim, depois de ver a resposta decidi tentar aqui e fiz o seguinte:

P(x) = k(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + 240
P(-1) = 0
0 = k(-2)(-3)(-4)(-5) + 240
0 = 120k + 240
k = -2

P(x) = (-2)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + 240

Logo, 

P(0) = (-2)(0-1)(0-2)(0-3)(0-4) + 240
P(0) = -48 + 240
P(0) = 192

E então, o que acham?

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Mensagem por PedroCunha Dom 03 Nov 2013, 20:22

Não acho que você possa fazer isso, tendo em vista que 1,2,3 e 4 não são raízes do polinômio.
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Mensagem por pvniciu Dom 03 Nov 2013, 20:29

PedroCunha escreveu:Não acho que você possa fazer isso, tendo em vista que 1,2,3 e 4 não são raízes do polinômio.
Mas essa solução implica em 1, 2, 3 e 4 raízes do polinômio?

Quer dizer, todas as restrições do problema foram satisfeitas...

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