Raízes dos complexos

Olá, gostaria de saber qual das duas afirmativas está correta com relação a números complexos:

Dado um n° complexo (a+bi) são raízes quadradas:

1) {x+yi, -(x+yi)}
2) {x+yi, x-yi}

O questionamento é porque vi num livro uma observação que sempre serão raízes quadradas de uma equação, um número complexo e seu conjugado. Entretanto, sempre pensei, que mesmo para complexos as seriam sempre um número e o seu negativo, tipo x e -x. Quem puder ajudar, por favor...

Não entendi muito bem a pergunta mas conjugado de um número x+yi seria x-yi. Vou upar o tópico e vamos ver se alguém o responde.
Abraços

z = a + bi ----> z = |z|(cosθ + i,senθ)

√z = [|z|^(1/2)].[cos(θ + 2kpi)/2 + i.sen(θ + 2kpi)/2] ----> k = 0 e k = 1

Para k = 0 ---> (√z)' = [|z|^(1/2)].[cos(θ/2) + i.sen(θ/2)]

Para k = 1 ----> (√z)" = [|z|^(1/2)].[cos(θ/2 + pi) + i.sen(θ/2 + pi )]

Imagine que o afixo de z esteja no 1º quadrante (0 < θ < 90º)

Os afixos das raízes quadradas de z vão estar:

1) da 1ª raiz vai estar no 1º quadrante (θ/2) ----> a' + b'.i
2) da 2ª raiz vai estar no 3º quadrante (θ/2) ----> - a - b'.i

Ou são ambas positivas ou são ambas negativas

Vitao181 escreveu:Não entendi muito bem a pergunta mas conjugado de um número x+yi seria x-yi. Vou upar o tópico e vamos ver se alguém o responde.
Abraços

Ok, obrigada.

Elcioschin escreveu:z = a + bi ----> z = |z|(cosθ + i,senθ)

√z = [|z|^(1/2)].[cos(θ + 2kpi)/2 + i.sen(θ + 2kpi)/2] ----> k = 0 e k = 1

Para k = 0 ---> (√z)' = [|z|^(1/2)].[cos(θ/2) + i.sen(θ/2)]

Para k = 1 ----> (√z)" = [|z|^(1/2)].[cos(θ/2 + pi) + i.sen(θ/2 + pi )]

Imagine que o afixo de z esteja no 1º quadrante (0 < θ < 90º)

Os afixos das raízes quadradas de z vão estar:

1) da 1ª raiz vai estar no 1º quadrante (θ/2) ----> a' + b'.i
2) da 2ª raiz vai estar no 3º quadrante (θ/2) ----> - a - b'.i

Ou são ambas positivas ou são ambas negativas

Entendi, por essa resolução sempre a raiz será um número e o negativo desse número, tipo x e -x. Gostaria de saber se tem alguma prova matemática que desfaça a afirmação dos conjugados( de que um nº complexo e seu conjugado serão sempre raízes). 
Desde já, muito obrigada!

Isto que eu fiz é uma prova: as raízes NÃO podem ser um complexo  e seu conjugado

Elcioschin escreveu:Isto que eu fiz é uma prova: as raízes NÃO podem ser um complexo  e seu conjugado

Persisti na dúvida porque vi uma questão no livro " Matemática do ensino médio" em que se pergunta: Uma das raízes da equação x^4 +bx² +c=0, b e c reais, é 1+3i. Determine as outras.
 
A resolução do livro é: Se 1+3i é uma raíz então -(1+3i) também é. E os conjugados de ambas também são.

Daí resultariam as 4 raízes. Mas como vc falou no caso de de raízes quadradas(diferente de raiz quarta) sempre será o negativo, não o conjugado.

Vejamos um exemplo numérico ----> z = - 1/2 + i.(\/3/2) = cos120º + i.sen120º

z^(1/4) = cos[(120 + 360k)/4] + i.sen[(120 + 360k)/4] ----> k = 0, 1, 2, 3

As raízes quartas são:

Para k = 0 ----> z1 = cos(120/4) + i.sen(120/4) ---> z1 = cos30 + i.sen30 ---> z1 = \/3/2 + i.(1/2)

Para k = 1 ----> z2 = cos(480/4) + i.sen(480/4) ---> z2 = cos120 + i.sen120 ---> z2 = - 1/2 + i.(\/3/2)

Para k = 2 ----> z3 = cos(840/4) + i.sen(840/4) ---> z3 = cos210 + i.sen210 ---> z3 = - \/3/2 - i.(1/2)

Para k = 3 ----> z4 = cos(1200/4) + i.sen(1200/4) ---> z4 = cos300 + i.sen300 ---> z4 = 1/2 - i.(\/3/2)

Você há de concordar que NÂO existem raízes conjugadas, uma da outra !!!!

Existem:

 \/3/2 + i.(1/2) e - \/3/2 - i(1/2)

-1/2 + i.\/3/2) e 1/2 - i.(\/3/2)

Então interprete corretamente o seu livro: ele NÃO está pedindo as raízes quartas e um número complexo: ele está pedindo as 4 raízes de uma equação do 4º grau. Neste caso as 4 raízes são, obrigatoriamnte conjugadas duas a duas

Aaah, nossa. Tinha confundido a rais quarta do complexo com as raízes da equação de 4 grau. Entendi. Muito obrigada pela explicação!