Hexágono regular

por dani1801 Dom 31 Jul 2016, 22:33

Unindo os pontos médios dos lados de um hexágono regular, cujo lado mede 5cm, obtemos um polígono regular. Determine sua área.

Resp: 225raiz3/8 cm^2

por **CaiqueF** Dom 31 Jul 2016, 23:00

$Hexágono regular Gif.latex?%5C%5C%5Coverline%7BHI%7D%5E2%20%3D%20%5Coverline%7BHD%7D%5E2%20+%20%5Coverline%7BDI%7D%5E2%20-%202%5Ccdot%20%5Coverline%7BHD%7D%5Ccdot%20%5Coverline%7BDI%7D%5Ccdot%20%5Ccos120%5C%5C%5C%5C%20%5Coverline%7BHI%7D%5E2%20%3D%202%5Ccdot%202.5%5E2-2%5Ccdot%202.5%5E2%5Ccdot%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%5C%5C%5C%20%5Coverline%7BHI%7D%5E2%20%3D%202%5Ccdot%202$

Sabemos que um hexagono é formado por 6 triangulos equilateros, e a área de um triangulo equilatero é dada por (L²√3)/4, então temos:

$Hexágono regular Gif$

por dani1801 Dom 31 Jul 2016, 23:28

Obrigada!!

por **Elcioschin** Dom 31 Jul 2016, 23:43

Outro modo

Área do hexágono original ---> Sh = 6.(L².√3/4) ---> Sh = (3/2).(5²).√3 ---> Sh = 75.√3/2

Área de cada triângulo de lados 5/2, 5/2 e 120^o ---> St = (5/2)².sen120^o/2 ---> St = 25.√3/8

Área do hexágono menor ---> S = Sh - 6.St = 75.√3/2 - 6.(25.√3/8 ) ---> S = 225.√3/8

por **CaiqueF** Dom 31 Jul 2016, 23:58

Outro modo:

Área do hexágono original ---> Sh = 6.(L².√3/4) ---> Sh = (3/2).(5²).√3 ---> Sh = 75.√3/2

Lado do hexagono original: 5
Lado do hexagono menor: 5√3/2

Relação quadratica:
L² está para área
5² ------------------ 75.√3/2
(5√3/2)² ---------- x

x = (75.√3/2) * (3/4) = 225√3/8

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