[ENEM] Geometria básica

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Mensagem por Alagoano em Ter 01 Out 2013, 12:51

Muitas indústrias têm procurado modificar as embalagens 
de seus produtos de forma a economizar material, mas 
mantendo o mesmo volume. Considere que se tenha uma 
folha de papelão quadrada e se deseje encontrar a 
melhor altura (h) para fazer uma caixa sem tampa, 
cortando-se os quatro cantos da folha. As exigências são 
que as dimensões da caixa sejam números inteiros e que 
o volume seja o maior possível. No modelo apresentado 
na figura seguinte, a folha tem 12 cm de lado e, nesse 
caso, a caixa de maior volume terá altura 2 cm. Para 
encontrar esse número, é calculado o volume em função 
da altura e prossegue-se atribuindo valores a h e 
calculando o volume, enquanto o valor do volume 
aumentar. 
[ENEM] Geometria básica 1380642624-clip-6kb
Se a folha quadrada tiver 20 cm de lado, qual deve ser a 
medida do lado do quadrado a ser cortado em cada um 
dos cantos, de modo a obter uma caixa sem tampa cujas 
dimensões sejam números inteiros e cujo volume seja o 
maior possível?

Resposta: 3 cm

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Mensagem por Elcioschin em Ter 01 Out 2013, 17:16

V = (20 - 2h).(20 - 2h).h

V = 4.h³ - 80.h² + 400.h

Derivando ----> V' = 12.h² - 160.h + 400

V é máximo ---> V' = 0 ---> Raízes h = 10 (não serve) e h = 10/3

Como h deve ser o inteiro mais próximo ----> h = 3 cm
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Mensagem por velloso em Qua 22 Out 2014, 16:57

Existe outra forma de fazer essa questão sem ser por derivação?
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Mensagem por Elcioschin em Qua 22 Out 2014, 17:56

Eu não conheço outro meio.
Para encontrar o valor máximo de uma função polinomial do 3º grau, num certo intervalo (no caso 0 < h < 10), somente conheço usando derivadas

Você sabe derivar função polinomial? É simples:

y = a.xn ---> y' = n.a.xn-1

Exemplo ---> y = 4.h³ ---> y' = 3.4.h3-1 ---> y = 12.h²
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Mensagem por Medeiros em Qua 22 Out 2014, 18:26

Velloso,
a solução do Élcio vai direto ao ponto, ao valor exato e sem perda de tempo. Mas... sem usar derivadas, o jeito é segir a indicação do enunciado e montar uma tabela.
enunciado escreveu:[...] No modelo apresentado na figura seguinte, ... , é calculado o volume em função da altura e prossegue-se atribuindo valores a h e calculando o volume, enquanto o valor do volume aumentar. 


conforme já calculado pelo Élcio,
V = 4h³ - 80h² + 400h

 h | V
---------
 1 | 324
 2 | 512
 3 | 588
 4 | 576 .......... já começou a diminuir, então ficamos com o valor anterior ----> V = 588 ---> h = 3
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Mensagem por velloso em Qua 22 Out 2014, 19:27

Obrigado, Medeiros.
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Mensagem por Dr.Astro em Qui 24 Out 2019, 11:58

@Elcioschin escreveu:V = (20 - 2h).(20 - 2h).h

V = 4.h³ - 80.h² + 400.h

Derivando ----> V' = 12.h² - 160.h + 400

V é máximo ---> V' = 0 ---> Raízes h = 10 (não serve) e h = 10/3

Como h deve ser o inteiro mais próximo ----> h = 3 cm
Olá, mestre. Você derivou a função polinomial. 
A partir disso, por que eu não posso aplicar o h do vértice para achar o h que dá Vmáx?
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Mensagem por Medeiros em Qui 24 Out 2019, 13:50

Porque V' não é mais a V(h) original, é apenas o valor da tangente num ponto de V(h); este ponto escolhemos conforme nossa conveniência.
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