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Análise Combinatória - UERJ

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Mensagem por brendad Qua Set 25 2013, 17:17

(Uerj 2001) Considere a equação abaixo, que representa uma superfície esférica, para responder à questão.
(x - 1)² + (y - 1)² + (z - 1)² = 9
Determine o total de pontos da superfície esférica acima com todas as coordenadas inteiras.


Resp: 30

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Mensagem por Igor Bragaia Qua Set 25 2013, 18:40

(x - 1)² + (y - 1)² + (z - 1)² = 9
As únicas possibilidades das coordenadas serem inteiras é se a soma dos três quadrados for a soma dos quadrados de 1,2,2 ou 3,0,0.
(i) m²+n²+p², com |m|=|n|=0, |p|=3. Teremos 3!/2! vezes 2 que é a possibilidade de escolha do sinal do 3. Teremos assim 6 anagramas.
(ii) as demais soluções são do tipo m²+n²+p², |m|=|n|=2, |p|=1. Teremos assim 3!/2=3 soluções. Mas pra cada letra podemos escolher o sinal negativo ou positivo, totalizando 3.2³=24 anagramas. Somando com as soluções anteriores:
24+6=30
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