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Transformação de Radical Duplo

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Transformação de Radical Duplo Empty Transformação de Radical Duplo

Mensagem por Convidado Sex 12 Jul 2013, 17:14

Acho que vcs conhecem a fórmula de transformação de radical duplo

Transformação de Radical Duplo Imagemafas

Ela parece complicar as coisas, mas para cálculo de números complexos ela sempre facilita! Gostaria de saber se alguém conhece uma fórmula semelhante para os dois casos abaixo





Eu até encontrei isto
Transformação de Radical Duplo Lpyg

Mas não é bem o que eu esperava...

Obg!

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Transformação de Radical Duplo Empty Re: Radical Biquadrático

Mensagem por DyllwayCarlos Dom 14 Jul 2013, 15:33

RADICAL DUPLO:

Toda expressão irracional da forma:Transformação de Radical Duplo %5CLARGE%5C%21%5Csqrt%7BA%5Cpm%5Csqrt%20B%7D é denominada de RADICAL DUPLO.
A transformação de um radical duplo em muitas situações, para simplificar em muito o nosso cálculo com radicais, podemos transformar um radical duplo em uma soma algébrica de radicais simples, vejamos:

Transformação de Radical Duplo %5CLARGE%5C%21%5Csqrt%7BA%5Cpm%5Csqrt%20B%7D%3D%5Csqrt%20%7Bx%7D%5Cpm%5Csqrt%7By%7D 
e para tal precisamos  que: Transformação de Radical Duplo %5CLARGE%5C%21A%5E2%3EBe B não seja um quadrado perfeito.
Elevando cada membro dessa igualdade ao quadrado teremos:

Transformação de Radical Duplo %5CLARGE%5C%21%28%5Csqrt%7BA%5Cpm%5Csqrt%20B%7D%29%5E2%3D%28%5Csqrt%20x%5Cpm%5Csqrt%20y%29%5E2%5Crightarrow%20A%5Cpm%5Csqrt%20B%3Dx%2By%2B2%5Csqrt%7Bxy%7D

Como cada membro dessa igualdade são formados por uma parte racional e outra irracional, elas podem ser isoladamente igualadas:

Transformação de Radical Duplo %5CLARGE%5C%21A%3Dx%2By%20%5C%3Be%5C%3B%5Csqrt%20B%3D%5Cpm2%5Csqrt%7Bxy%7D  e onde podemos concluir que:

Transformação de Radical Duplo %5CLARGE%5C%21A%3Dx%2By%20%5C%3Be%5C%3B%20B%3D4xy%20%5C%3Be%5C%3B%20xy%3D%5Cfrac%7BB%7D%7B4%7D
Temos então a soma e o produto de dois números x e y, e com isso podemos montar uma equação do segundo grau:

 Transformação de Radical Duplo %5CLARGE%5C%21m%5E2-Am%2B%5Cfrac%7BB%7D%7B4%7D%3D0%5Crightarrow%204m%5E2-4Am%2BB%3D0É fácil ver que:

Transformação de Radical Duplo %5CLARGE%5C%21m_%7B1%7D%3D%5Cfrac%7BA%2B%5Csqrt%7B%20A%5E2-B%7D%7D%7B2%7D%20%5C%3Be%5C%3B%20m_%7B2%7D%3D%5Cfrac%7BA-%5Csqrt%7BA%5E2-B%7D%7D%7B2%7DChamando

 Transformação de Radical Duplo %5CLARGE%5C%21A%5E2-B%20%5C%3Bde%5C%3B%20C%5E2, teremos

 Transformação de Radical Duplo %5CLARGE%5C%21m_%7B1%7D%3D%5Cfrac%7BA%2B%5Csqrt%7BC%5E2%7D%7D%7B2%7D%5C%3Be%5C%3Bm_%7B2%7D%3D%5Cfrac%7BA-%5Csqrt%7BC%5E2%7D%7D%7B2%7D%5Crightarrow%20%5C%5Cm_%7B1%7D%3D%5Cfrac%7BA%2BC%7D%7B2%7D%5C%3Be%5C%3Bm_%7B2%7D%3D%5Cfrac%7BA-C%7D%7B2%7De com isso:

Transformação de Radical Duplo %5CLARGE%5C%21%5Csqrt%7BA%5Cpm%5Csqrt%20B%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BA%2BC%7D%7B2%7D%7D%7B%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BA-C%7D%7B2%7D%7D%7D

Observemos que a diferença precisa ser, além de positiva, um quadrado perfeito. Só assim, conseguiremos, transformar um RADICAL DUPLO numa soma ou diferença de radicais simples. Notemos que é muito simplesinha essa equação e fácil de usa tanto nos reais como nos complexos.

Veremos agora um exemplo:

1) Transforme o radical duplo Transformação de Radical Duplo %5CLARGE%5C%21%5Csqrt%20%7B5%5Cpm%5Csqrt%2024%7D%5C%5Cnuma soma de radicais simples.

Notemos que: Transformação de Radical Duplo %5CLARGE%5C%21A%5E2-B%3D5%5E2-24%3D25-24%3D1

é positivo e também um quadrado perfeito, portanto a transformação é possível,

assim: Transformação de Radical Duplo %5CLARGE%5C%21C%3D%5Csqrt%7B25-24%7D%3D%5Csqrt%201%20%5Crightarrow%20C%3D1  e aplicando a transformação, vem:

 Transformação de Radical Duplo %5CLARGE%5C%21%5Csqrt%7B5%5Cpm%5Csqrt%2024%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B5%2B1%7D%7B2%7D%7D%5Cpm%7B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B5-1%7D%7B2%7D%7D%7D%3D%5Csqrt%203%5Cpm%5Csqrt%202  , portando usando raciocínio análogo você com certeza resolverá as outras questões.

                         Dyllway Carlos.


Última edição por DyllwayCarlos em Dom 14 Jul 2013, 19:37, editado 1 vez(es) (Motivo da edição : Erro de grafia)
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Transformação de Radical Duplo Empty Re: Transformação de Radical Duplo

Mensagem por Convidado Dom 14 Jul 2013, 21:16

Dyllway Carlos, observe que a minha pergunta não é para o caso quadrático, e sim cúbico e quártico...

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Mensagem por Matheus Fillipe Dom 14 Jul 2013, 22:17

Entendo sua pergunta. Se você conhece,e pelo visto conhece e bem; o desenvolvimento para obter uma fórmula para os quadrados envolve a resolução de uma pequena equação de 2º grau, para o caso cúbico você obteu uma de terceiro, o que já era esperado. Se o que você fez estiver certo a equação para x de grau 3 não contém termo de x^2, assim ela pode ser resolvida pela substituição:
x=u+v
uv=-(a^2-b)^(1/3)

Pode substituir na infeliz equação resolver o sistema para x e y e encontrar o resultado (good lucky), é possível, mas te garanto que não encontrará nada bonito.

Para o caso quártico você pode reduzir a um caso quadrático duas vezes. 


 

Onde estão as mesmas condições para o caso quadrático. Daqui a diante é a mesma história.
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Mensagem por 2k3d Dom 14 Jul 2013, 23:04

Jhenrique , a idéia nas expressões do tipo  é ter a noção de que  seja um produto notável . 

EX : 









Logo 

O único modo que eu conheço de resolver as do tipo  é deixando-a na forma  , aí você resolve o primeiro radical duplo e depois o segundo .
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Mensagem por Matheus Fillipe Dom 14 Jul 2013, 23:15

Acredito que a intensão do J Henrique seja encontrar um termo geral que resolva como no caso dos radicais quadráticos múltiplos.
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Mensagem por 2k3d Dom 14 Jul 2013, 23:58

Acredito que não exista fórmula para ambos os casos  .
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Mensagem por Convidado Seg 15 Jul 2013, 10:25

Sim, a ideia é encontrar uma solução para



e para



Mas isso não é puro preciosismo matemático da minha parte, aqui tem até uma questão desse tipo que eu n sei como o autor resolve...

Transformação de Radical Duplo Qtrjhttps://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/547/qtrj.png/
fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_complexos

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Transformação de Radical Duplo Empty Re: Transformação de Radical Duplo

Mensagem por Matheus Fillipe Seg 15 Jul 2013, 11:14

Você se refere à solução da equação Transformação de Radical Duplo 35644541895301b76e94c22eec85c8b6 Por Tartaglia:Transformação de Radical Duplo 736aa00bf8f7fe4dd16ea684fd8b4d55??
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Mensagem por Convidado Seg 15 Jul 2013, 12:31

Eu conheço esse solução. Sei até mesmo deduzir todas as três raízes partindo da equação ax³+bx²+cx+d=0. Sei também calcular a raiz quadrada de um número complexo () sem precisar recorrer à forma trigonométrica. Para isto, eu utilizo a fórmula de transformação de arco duplo. Mas eu não sei calcular a raiz cúbica de um número complexo () sem apelar à forma trigonométrica, não sei pq não sei a sua fórmula de transformação de arco duplo para este caso. E o que eu gostaria de saber é fazer isto, calcular as raízes cúbicas ou quárticas (ou seja, determinar os coeficientes a e b) de um número complexo sem precisar recorrer a arredondamentos trigonométricos.

(ps: já que tocamos no assunto da resolução da cúbica, a resolução da quártica é uma outra coisa que infelizmente eu desconheço e que eu gostaria de poder compreender melhor...)

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