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Inequação (Algumas Dúvidas)

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Inequação (Algumas Dúvidas) Empty Inequação (Algumas Dúvidas)

Mensagem por DiegoCarvalho1 Seg 24 Jun 2013, 23:59

Pessoal, boa noite.

Eu tenho algumas dúvidas sobre equações/inequações.

Tratando-se de EQUAÇÕES, quando nos deparamos com algo do tipo x² = 1, prosseguimos da seguinte maneira:
* x² = 1
x = ±√1
x = -1 ou x = 1


* x² = 9
x = ±√9
x = -3 ou x = 3


Já em inequações, não podemos fazer exatamente isso que fizemos acima. Exemplos:


* x² ≥ 1
≥ ±√1
≥ 1 ou ≥ -1 (Isso está ERRADO!) O correto é x ≤ -1 ou x ≥ 1, mas pq?


x² ≥ 9
≥ ±√9
≥ 3 ou ≥ -3 (Isso está ERRADO!) O correto é x ≤ -3 ou x ≥ 3, mas pq?


Já quando me deparo com, por exemplo:


* x³ ≥ -1
≥  ³√-1
≥ -1


* x³ ≥ 8
≥  ³√8
≥ 2

Pq nesse caso eu posso simplesmente "jogar a raiz do outro lado" e resolver normalmente?

Então, surgem algumas dúvidas:


1 - Por qual motivo em EQUAÇÕES nós podemos finalizar da maneira mostrada acima, e em INEQUAÇÕES não podemos simplesmente fazer como demonstrei acima (análogo à equações).


2 - Pode até ser uma dúvida elementar, mas pq quando passamos a raiz quadrada de um lado para o outro, temos que colocar o sinal de ± e quando é raiz cúbica não fazemos isso?

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Inequação (Algumas Dúvidas) Empty Re: Inequação (Algumas Dúvidas)

Mensagem por Luck Ter 25 Jun 2013, 01:37

"* x² ≥ 1
≥ ±√1
≥ 1 ou ≥ -1 (Isso está ERRADO!) O correto é x ≤ -1 ou x ≥ 1, mas pq? "

veja que y = x² - 1 é uma função de segundo grau, concavidade para cima de raízes 1 e -1, faça o esboço da parábola e veja que y so é ≥ 0 quando está à esquerda de -1 ou à direita de 1, logo x² ≥ 1 ∴ x ≤ -1 ou x ≥ 1

Agora quando  x³ ≥ 8 , temos uma equação de terceiro grau, toda equação de terceiro grau tem 3 raízes, nesse caso y = x³ - 8 possui raízes 2 , -1 - i√3 e -1 +i√3 , a única raíz real é x = 2 (-2 nao é raíz!), entao no conjunto dos reais se x³ ≥ 8 ,  x 2
Quando o expoente for ímpar nao tem o +- por isso, com expoente par nao ocorre o mesmo.
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Inequação (Algumas Dúvidas) Empty Re: Inequação (Algumas Dúvidas)

Mensagem por DiegoCarvalho1 Ter 25 Jun 2013, 09:08

Mas é exatamente aí que queria uma explicação.

- Tipo, pq quando a raiz é par, colocamos o ± e quando é ímpar, não colocamos? Deve existir alguma forma de provar ou pelo menos, alguma explicação...

Depois dessa explicação, passemos para a dúvida abaixo:

- Quando temos, por exemplo, (x - 1)² = 4, constantemente resolvemos simplesmente "jogando a raiz do lado oposto ao onde está o termo elevado quadrado". Simplificando, é da seguinte forma:
(x - 1)² = 4
(x - 1) = ±√4

Mas aí eu me pergunto: Quando tiramos a raiz quadrada de algum número, devemos colocar o ±. Então a notação correta de (x - 1) ² = 4, não seria:

(x - 1)² = 4
±[√(x - 1)²] = ±√4
± (x-1) = ± 2

+ (x - 1) = + 2 => x = 3
+ (x - 1) = - 2 => x = - 1


- (x - 1) = + 2 => x = - 1
- (x - 1) = -2 => x = 3


____

- Ah, e como você conseguiu encontrar as raízes de x³ ≥ 8?

Desde já, agradeço.

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Inequação (Algumas Dúvidas) Empty Re: Inequação (Algumas Dúvidas)

Mensagem por Luck Ter 25 Jun 2013, 13:39

DiegoCarvalho1 escreveu:Mas é exatamente aí que queria uma explicação.

- Tipo, pq quando a raiz é par, colocamos o ± e quando é ímpar, não colocamos? Deve existir alguma forma de provar ou pelo menos, alguma explicação...

Depois dessa explicação, passemos para a dúvida abaixo:

- Quando temos, por exemplo, (x - 1)² = 4, constantemente resolvemos simplesmente "jogando a raiz do lado oposto ao onde está o termo elevado quadrado". Simplificando, é da seguinte forma:
(x - 1)² = 4
(x - 1) = ±√4

Mas aí eu me pergunto: Quando tiramos a raiz quadrada de algum número, devemos colocar o ±. Então a notação correta de (x - 1) ² = 4, não seria:

(x - 1)² = 4
±[√(x - 1)²] = ±√4
± (x-1) = ± 2

+ (x - 1) = + 2 => x = 3
+ (x - 1) = - 2 => x = - 1


- (x - 1) = + 2 => x = - 1
- (x - 1) = -2 => x = 3


____

- Ah, e como você conseguiu encontrar as raízes de x³ ≥ 8?

Desde já, agradeço.
Eu expliquei isso , leia novamente e veja o exemplo em que x³ = 8 , o -2 nao é raíz apenas o 2, pois ( (-2).(-2).(-2) = -8 ) , as outras raízes sao complexas. Em x² = 16 , tanto o 4 como o -4 sao raízes, pois 4.4 = 16 , (-4)(-4) = 16 , um número negativo com expoente par resulta em positivo .

"Mas aí eu me pergunto: Quando tiramos a raiz quadrada de algum número, devemos colocar o ±. "
nao se deve colocar o +- dos dois lados ( vc ta 'criando' uma nova teoria! ) ,esse +- vem da definição de raíz: √x² = |x| , mas quando é ímpar por exemplo √x³ = x e nao |x| cai no mesmo caso que tinha citado.

(x - 1)² = 4 , como ambos os membros sao positivos podemos aplicar raiz quadrada dos dois lados:
√(x-1)² = √4
|x-1| = 2 por isso, x- 1 = +-2

"Ah, e como você conseguiu encontrar as raízes de x³ ≥ 8?"
Incluindo as raízes complexas? Para encontrar todas as raízes vc pode aplicar a segunda fórmula de De Moivre ou nesse caso pode fatorar:
x³ -8 = 0 ∴ x³ - 2³ = 0 ∴ (x-2)(x² + 2x + 4) = 0,  x = 2 , resolvendo a eq do 2º grau x² + 2x + 4 vc acha as raízes complexas:
-1 -i√3 , -1 + i√3
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