Inversa de matriz com funções trigonométricas

por pedro.reisen Dom 02 Jun 2013, 14:12

Alguém sabe resolver? Mostre que a matriz A = (cos θ sen θ) é inversível e calcule a sua inversa. ------------------------------------------------------------------------(-sen θ cos θ)

por **JOAO [ITA]** Dom 02 Jun 2013, 14:32

det A = cos²θ + sen²θ = 1 (Relação fundamental da Trigonometria).

Como det A ≠ 0 segue que a matriz é inversível e a inversa é dada por:
A^(-1) = (1/det A).A', onde A' é a matriz adjunta de A (i.e, é a matriz transposta da matriz formada pelos cofatores de A).

O primeiro passo é, então, calcular os cofatores de A:

A11 = cosθ, A12 = senθ, A21 = -senθ e A22 = cosθ.

Assim, a matria dos cofatores é dada por:

Ac =

|-cosθ-----senθ|
|-senθ-----cosθ|

E, consequentemente, segue que:

A' =

|cosθ----- -senθ|
|senθ-------cosθ|

Portanto, A^(-1) = (1/1).A' =

|cosθ----- -senθ|
|senθ-------cosθ|

por pedro.reisen Dom 02 Jun 2013, 14:39

Tem alguma forma de resolver a questão sem usar determinantes? Porque ainda não os estudei.

por **JOAO [ITA]** Dom 02 Jun 2013, 15:48

Dá para resolver sem determinantes sim (apesar de dar mais trabalho para matrizes maiores).

É só usar a definição.

Definição: As matrizes A e B (quadradas e de ordem n) são inversas se, e somente se, A.B = B.A = In, em que In é a matriz identidade de ordem n.

Vamos ver como fica esse exercício usando a definição.

Resolução pela definição:

Se A^(-1) =

(x----y)
(z---w), então, por definição de inversa, decorre que:

(cosθ---- sen θ)..x...(x----y).......=(1.....0)
(-senθ--- cos θ).......(z---w).........(0......1)

Agora é só você resolver o sistema linear formado.

por pedro.reisen Dom 02 Jun 2013, 16:26

Eu fiz isso aí, mas deram uns resultados meio estranhos, não sei se está certo. De qualquer forma, valeu! Tem um outro tópico meu que ainda não foi respondido, agradeço se você puder dar uma olhada nele.