Critério de Eisenstein

Aí vai um teorema interessante sobre polinômios para não perder muito tempo em provas longas.

Notações:
a |~ b---> 'a' não divide 'b'.
a^(x) ----> 'a'elevado à potência x.
a[n] ---> coeficiente de uma variável qualquer de um polinômio elevada à potência n.

Dadas as notações, já se pode definir um polinômio genérico de grau n ≥ 1 :
P(x) = a[n].x^(n) + a[n-1].x^(n-1) + (...) + a[0]
Onde os 'a[k]' ∈ ℤ.

Agora usarei esse polinômio para enunciar o Teorema.

Enunciado: "Seja f(x) um polinômio que satisfaça as condições definidas para o polinômio genérico P(x).
Suponha que exista um primo 'p' tal que:
.p |~ a[n];
.p | a[i] para i = {0,1,(...),(n-1)};
.p² |~ a[0].
Então f(x) não se escreve como produto de polinômios de grau n ≥ 1 com coeficientes inteiros. Em particular, f(x) é irredutível em ℚ".

Demonstração: Suponhamos, por contradição, que f(x) = g(x).h(x), onde g(x) e h(x) são polinômios não constantes que satisfazem as condições definidas para o polinômio genérico P(x).
Definirei g(x) e h(x) da seguinte forma:
g(x) = b[r].x^(r) + b[r-1].x^(n-1) + (...) + b[0] e h(x) = c[s].x^(s) + c[s-1].x^(n-1) + (...) + c[0]
Com r,s ≥ 1 e r + s = n.
Como o primo 'p' divide a[0] = b[0].c[0], tem-se que 'p' divide b[0] ou 'p' divide c[0] mas não ambos, já que supôs-se, inicialmente, que p² |~ a[0].
Suporei, sem perda de generalidade, que p | b[0] e p |~ c[0] (*).
Agora:
.p | a[1] = b[0].c[1] + b[1].c[0], logo, de (*), tem-se que p | b[1] (**).
.p | a[2] = b[0].c[2] + b[1].c[1] + b[2].c[0], logo, de (**), tem-se que p | b[2].
.Assim prosseguindo, pode -se demonstrar que p | b[i] para cada i = {0,1,(...),r}, logo como a[n] = b[r].c[s], tem-se que
p | a[n] ---> Absurdo.
C.q.d.


Exemplo prático:
E(x) = 6.(x^(9)) + 14.x² + 28.x + 14
Não se pode aplicar critério para p = 2; mas para p = 7 concluí-se que E(x) é irredutível em ℚ.
Note que E(x) é redutível em ℤ (2 é um fator).

Bem pratico mesmo