Potencial Elétrico

Uma carga Q é distribuída por duas esferas concêntricas de raios r e R (R>r) de forma que suas densidades superficiais de carga sejam iguais. Qual o potencial elétrico no centro comum às duas esferas? A permissividade elétrica do vácuo vale .

Resposta:

Sejam Q' e q as cargas das esferea maior e menor ---> Q' + q = Q

λ1 = Q'/4.pi.R² ----> λ2 = q/4.pi.r² ----> λ1 = λ2 -----> Q'/4.pi.R² = q/4.pi.r² ----> Q'/q = R²/r² ----> Q' = q.R²/r²

Q' + q = Q ----> q.R²/r² + q = Q ----> q.(R² + r²)/r² = Q ----> q = Q.r²/(R² + r²) ----> Q' = Q.R²/(R² + r²)

O potencial U no centro é o próprio potencal da superfície de cada esfera:

U = k.Q'/R + k.q/r ----> U = k.[Q.R²/(R² + r²)]/R + k.[Q.r²/(R² + r²)]/r ---> U = k.[Q.R/(R² + r²)] + k.[Q.r/(R² + r²)] ---->

U = k.[Q/(R² + r²)].(R + r) ----> U = k.Q.(R + r)/(R² + r²)

Basta agora lembrar que k = 1/4.pi.ε ----> U = Q.(R + r)/4.pi.ε.(R² + r²)