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Mensagem por Chronoss em Qua 24 Abr 2013, 13:49

Dados os números x , y , z tais que : x + y + z = 1 , x² + y² + x² = 2 , x³ + y³ + z³ = 3 . Calcule : x⁴ + y⁴ + z⁴.



Spoiler:
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Mensagem por Luck em Qua 24 Abr 2013, 14:38

Por polinômios simétricos:
Sn = a1S(n-1) - a2S(n-2) + a3S(n-3)
onde a1 = x+y+z , a2 = xy + xz + yz , a3 = xyz
S0 = x^0 + y^0 + z^0 = 3
S1 = a1 = x + y + z = 1
S2 = 2 = a1² - 2a2 --> 2a2 = 1 - 2 --> a2 = -1/2
S3 = 3

S3 = a1S2 - a2S1 + a3S0
S3 = a1(a1² - 2a2) - a2.a1 + 3a3
S3 = a1³ -3a1a2 + 3a3
3 = 1 - 3.1.(-1/2) + 3a3
a3 = 1/6

S4 = a1S3 - a2S2 + a3S1
S4 = 1.3 - (-1/2).2 + (1/6).1
S4 = 4 + 1/6
S4 = 25/6
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Mensagem por Chronoss em Qua 24 Abr 2013, 15:45

Não estudei esta matéria ainda , se não for incomodar demais poderia postar uma resolução por fatoração?
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Mensagem por Luck em Qua 24 Abr 2013, 16:47

@Chronoss escreveu:Não estudei esta matéria ainda , se não for incomodar demais poderia postar uma resolução por fatoração?
Olá Chronoss, como tinha dito antes, as questões de olimpíadas que vc tem postado são de nível alto, se algumas vezes vc nao dispor de novas 'ferramentas' para resolve-las vc vai perder MUITO tempo tentando e fazendo conta..sugiro que dê uma lida no assunto pra resolver essa questão. Escreva " polinômios simétricos OBM" no google e baixe a apostila, primeiro link.
Pra resolver só por fatoração:
Primeiro ache xy + yz + xz, usando que x² + y² + z² = (x+y+z)² - 2(xy + yz + zy)
Depois ache xyz , usando a fatoração clássica , se nao conhece deixo pra vc demonstrar como exercício ( que tb pode ser deduzida rapidamente por polinômios simétricos) :
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)( x² + y² + z² - xy - xz - yz)
seja x² = x' , y² = y' , z² = z', vc quer achar x'² + y'² + z'²
(x'² + y'² + z'²) = (x'+y'+z')² - 2(x'y' + y'z' + x'z')
x^4 + y^4 + z^4 = [(x²+y²+z²)]² - 2( (xy)² + (yz)² + (xz)² )
do mesmo modo fatore (xy)² + (yz)² + (xz)² e coloque xyz em evidencia...
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