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TRIÂNGULO RETÂNGULO

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Mensagem por ROSANI Qua 17 Abr 2013, 12:40

ABC e A'B'C' são dois triângulos retângulos cujos catetos AB=10cm e A'B'=16cm têm por suporte uma mesma reta XY, os outros dois catetos são AC=12cm e A'C'=8cm. Uma paralela à reta XY intercepta os lados AC, BC, A'C' e B'C' respectivamente nos pontos D, E, D' e E', tais que DE=D'E'. Calcule AD e DE.

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Mensagem por ivomilton Qua 17 Abr 2013, 18:39

ROSANI escreveu:ABC e A'B'C' são dois triângulos retângulos cujos catetos AB=10cm e A'B'=16cm têm por suporte uma mesma reta XY, os outros dois catetos são AC=12cm e A'C'=8cm. Uma paralela à reta XY intercepta os lados AC, BC, A'C' e B'C' respectivamente nos pontos D, E, D' e E', tais que DE=D'E'. Calcule AD e DE.

Boa noite, Rosani.

Vou descrever a figura para você fazer o esboço aí:
Trace a reta horizontal suporte com um bom comprimento.
A começar da esquerda, marque o segmento AB=10 e, pouco mais adiante, o segmento A'B' = 16.
Levante perpendiculares a partir de A e de A'.
Sobre a perpendicular que levantou de A, marque o segmento AC=12, e sobre a que levantou de A', marque o segmento A'C'=16.
Ligue C com B e C' com B' completando os dois triângulos retângulos.

Trace uma paralela à reta suporte, aprox. 1 cm acima daquela que está traçada.
Marque D e E em suas intersecções com CA e CB e também marque D' e E' em suas intersecções com C'A' e C'B'.

Sobre CA escreva 12 e sobre AB, 10; também sobre C'A' escreva 8 e sobre C'B', 16.

Agora, observe que os ∆s CDE e CAB são semelhantes, bem como C'D'E' e C'A'B'; portanto, seus lados são proporcionais.

Escreva "x" sobre os segmentos DE e D'E' (pois deverão ser iguais entre si).
Escreva "y" sobre os segmentos DA e D'A' (iguais por serem perpendiculares às paralelas).

Podemos, portanto, escrever as seguintes relações, pelo Teorema de Tales:
(12-y)/x = 12/10 = 6/5
5(12-y) = 6x
60-5y = 6x
6x + 5y = 60 ...... (I)

(8-y)/x = 8/16 = 1/2
2(8-y) = x
16 - 2y = x
x + 2y = 16 ....... (II)

Formando sistema entre (I) e (II), vem:
6x + 5y = 60
ox + 2y = 16

-6.(I) + (II) :

-6x - 5y = -60
6x + 12y = 96
-----------------
........ 7y = 36
......'... y = 36/7

x + 2y = 16
x + 2*(36/7) = 16
x + 72/7 = 16
x = 16 - 72/7 = (16*7 - 72)/7
x = (112-72)/7
x = 40/7

Conclusão:
AD = 36/7
DE = 40/7





Um abraço.
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Mensagem por raimundo pereira Qua 17 Abr 2013, 19:16

:bball: ivomilton , vou colocar o desenho para meus arquivos.
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Mensagem por ivomilton Qua 17 Abr 2013, 21:13

Boa noite, Raimundo.

Agora sim, você completou a solução com uma bela ilustração...
Valeu, muito obrigado! Very Happy








Forte abraço!
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