Problema 15

Uma prova do tipo múltipla escolha contém 10
testes, com 5 alternativas cada um. Somente
uma alternativa é correta para cada teste. Qual a
probabilidade de um aluno, “ chutando “ os 10
testes, acertar metade das respostas?

Resposta:2,7%

alguém?

sejam:

10 testes com 5 alternativas cada

A = { acertar 1 questão }

B = { errar uma questão }

P(A) = 1/5

P(B) = 4/5


assim, a probabilidade de acertar 5 questões:

..5
C .....* [ (1/5)^5 ]*[ (4/5)^5 ] = 0,026424 ≈ 2,7 %
..10

José,por que eu tenho que multiplicar o (1/5) pelo (4/5) ambos elevados a 5 potencia?Agradeço a ajuda.

Waypoint, trata-se de uma questão de contagem.

Primeiro, vamos definir o espaço amostral. Levando em conta que a ordem na qual as alternativas são respondidas importa, trata-se de um caso de arranjo simples.

Há 10 testes, havendo 5 possíveis respostas para eles, sendo que apenas 1 está correto. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, há 5.5.5.5 ... .5 = 5^10 maneiras distintas de resolvermos a prova sendo que escolhemos uma, e somente uma resposta por questão. Isso poderia ser feito como C5,1 ^ 10 maneiras, da na mesma. Esses, então, são nossos casos possíveis.

Agora, vamos definir os casos favoráveis.

Para que o aluno acerte exatamente metade da prova, ele deve acertar 5 e errar 5 obrigatoriamente.

Ou seja, para 5 questões , há C1,1 = 1 maneira de respondê-la se queremos acertá-la. Assim, há 1^5 = 1 maneira de acertarmos 5 questões quaisquer.

Para as demais questões, há C4,1 maneiras de respondê-las já que 5-1 = 4 estão incorretas, e temos que errar. Pela contagem, há C4,1 ^ 5 maneiras de responder 5 questões quaisquer erradas.

Para isso, há C10,5 maneiras de escolhermos as 5 questões certas e C5,5 = 1 de escolhermos as erradas. Outra maneira de pensar seria que devemos permutar as respostas certas e erradas. Mas não importa o que foi marcado, importa se é C ou E. Assim, há uma permutação com repetição, dada por 10!/5!.5!

Assim, temos P = C10,5 * 1.4^5/ 5^10 maneiras.

O José fez isso usando a probabilidade de cada caso separado e a "regra do E". No final, da na mesma coisa, mas acredito que separado seja mais fácil de perceber.

Olá Giiovanna,

Seu esclarecimento foi supimpa, obrigado.

Eu que agradeço a ajuda de vocês,muito obrigado!

Jose Carlos escreveu:sejam:

10 testes com 5 alternativas cada

A = { acertar 1 questão }

B = { errar uma questão }

P(A) = 1/5

P(B) = 4/5


assim, a probabilidade de acertar 5 questões:

..5
C .....* [ (1/5)^5 ]*[ (4/5)^5 ] = 0,026424 ≈ 2,7 %
..10

Boa noite José Carlos.

Estava vendo a resolução da referida questão e o comentário da colega Giiovanna, afim de entender porque combinação C(10,5) maneiras você usou ao final para resover, entretanto entendi o que a Giiovanna falou em que há uma pemutação com repetição. Logo como afirmo que realmente há uma permutação com repetição?Pois li o comentário da colega, contudo não entendi essa parte final. Expliqui-me.

Abraços.

idelbrando escreveu:

Jose Carlos escreveu:sejam:

10 testes com 5 alternativas cada

A = { acertar 1 questão }

B = { errar uma questão }

P(A) = 1/5

P(B) = 4/5


assim, a probabilidade de acertar 5 questões:

..5
C .....* [ (1/5)^5 ]*[ (4/5)^5 ] = 0,026424 ≈ 2,7 %
..10

Boa noite José Carlos.

Estava vendo a resolução da referida questão e o comentário da colega Giiovanna, afim de entender porque combinação C(10,5) maneiras você usou ao final para resover, entretanto entendi o que a Giiovanna falou em que há uma pemutação com repetição. Logo como afirmo que realmente há uma permutação com repetição?Pois li o comentário da colega, contudo não entendi essa parte final. Expliqui-me.

Abraços.

Boa noite Jose Carlos. 
Ainda não consegui entender a combinação de C(10,5), logo encontrei uma resolução no yahoo answers bem semelhante a sua, contudo não entendi ainda a C(10,5) ,caso me ajude fivarei mais que grato.
link da resolução do Henrique Belini: https://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090923073224AAIQ6ZV

Abraços.