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cn - 1972 9 mmc/mdc

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Mensagem por belchior Rieben Sex 29 Mar 2013, 10:01

( CN - 1972) Determinar o menor número que dividido por 10 , 16 e 24 deixa , respectivamente , restos 5 , 11 e 19 .

R: 235
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Mensagem por inayara Qua 03 Abr 2013, 09:36

O numero que queremos satisfaz:
x = 10*y1 + 5
x = 16*y2 + 11
x = 24*y3 + 19

1) Como o número deixa resto 5 quando dividido por 10, o número é terminado em 5.

2) Números que, quando divididos por 16, deixam resto 11 (conjunto A):
A = {11, 27, 43, 59, 75, 91, ...}
Como obter A? Pegar o primeiro número que deixa resto 11 (no caso, o proprio 11) e ir somando 16.

3) Números que, quando divididos por 24, deixam resto 19 (conjunto B):
B = {19, 43, 67, 91, 115, 139, ...}
Como obter B? Pegar o primeiro número que deixa resto 19 (no caso, o proprio 19) e ir somando 24.

4) Repare que, a cada 5 números, o último algarismo (das unidades) começa a se repetir, tanto no conjunto A como no conjunto B.

5) Esta repetição de algarismos "a cada 5 números" pode ser expressa matematicamente como:
caso do conj. A: 75 + 80*b (pois 16*5 = 80)
caso do conj. B: 115 + 120*c (pois 24*5 = 120)

6) Como o número deve ser o mesmo nos conjuntos A e B:
75 + 80b = 115 + 120c
80b - 120c = 40
2b - 3c = 1

7) Mas 2b - 3c = 1 tem infinitas respostas. Como é pedido o menor numero, temos que pegar os mínimos "b" e "c". Logo, b = 2 e c = 1.

Cool Voltando em 75 + 80b = 115 + 120c:
75 + 80(2) = 235
115 + 120(1) = 235

9) A prova:
235 = 10*23 + 5 (y1 = 23, la no começo)
235 = 16*14 + 11 (y2 = 14 la do começo)
235 = 24*9 + 19 (y3 = 9 la no começo)

Logo, a resposta é 235.

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