(Faetec-Rj) Números Complexos

Sejam α, β ∈ C tais que |α| = |β| = 1 e |α-β| = √2. Então α² + β² é igual a:

a) -2
b) 0
c) 1
d) 2
e) 2i

Vamos usar letras mais agradáveis pra complexos ^^ , seja α = z , β = w , z² + w² = ?
(z-w)(z-w)* = |z-w|² , onde * é conjugado.
(z-w)(z*-w*) = 2
z.z* - z.w* - w.z* + w.w*= 2
|z|² - zw* - wz* + |w|² = 2
zw* + wz* = 0 , multiplicando por zw
z²ww* + w²zz* = 0
z²|w|² + w²|z|² = 0
z² + w² = 0

Outra solução:
vc pode interpretar geometricamente, sendo z e w vetores de módulo 1, como |z-w| = √2 ,então os vetores v e w são perpendiculares ( |z-w|² = |z|² + |w|² - 2|z||w|cosθ --> 2 = 1 + 1 - 2.1.1cosθ -> cosθ = 0 , θ = 90º ).
Logo z = wcis(90º) , elevando ao quadrado:
z² = w²cis(180) , cis(180) = -1
z² = -w² --> z² + w² = 0

Revivendo esse tópico, gostaria de fazer uma seguinte indagação: já que α e β possuem o mesmo módulo, e a questão pede exatamente a soma dos quadrados deles, pergunto por que não se pode proceder da seguinte forma:

|α| = 1 
|α|² = 1
α² = 1

Logo, como ambos possuem o mesmo módulo, α² + β² = 2. O que há de errado aqui?

Lembre-se que:

Sendo α = x + y.i ---> |α|² = x² + y² ---> 1² = x² + y² ---> x² + y² = 1


Sende β = a + b.i ---> |β|² = a² + b² ---> 1² = a² + b² ---> a² + b² = 1


α - β = (x + y.i) - (a + b.i) ---> |α - β|² = (x - a)² + (y - b)² = 2 ---> 


Complete

Elcioschin escreveu:Lembre-se que:

Sendo α = x + y.i ---> |α|² = x² + y² ---> 1² = x² + y² ---> x² + y² = 1


Sende β = a + b.i ---> |β|² = a² + b² ---> 1² = a² + b² ---> a² + b² = 1


α - β = (x + y.i) - (a + b.i) ---> |α - β|² = (x - a)² + (y - b)² = 2 ---> 


Complete

Saudações! Bom, eu já havia tentado antes resolver essa questão e já cheguei a passar por esse trecho também, que, caso eu realmente não esteja errado, fornecerá a conclusão de que ax + yb = 0.

Não pude, ainda, resolvê-la por conta própria, mas o problema mesmo não é esse, afinal, a gente sempre consegue chegar no resultado certo, mesmo que isso demande um esforço tremendo inicialmente. A minha queixa, que me fez comentar aqui, foi devido à incompatibilidade daquela propriedade modular supracitada por mim. Contudo, parece que ela realmente não é compatível com números imaginários, dado que até já tentei prová-la aqui, e nada se obtém disso. Estou certo mesmo quanto a isso?

É isto mesmo. O que vc fez vale para números reais mas não para números complexos.