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IME modo de fazer o exercício

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Mensagem por carlos.r Sáb 23 Mar 2013, 08:42

http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100808015502AANPvui

Seja f uma função real tal que para todo e qualquer a pertencente aos reais

f(x+a)=1/2+ raiz de { f(x)-[f(x)]^2 } f e periódica ?

Justifique:

Gostaria de saber se tem como fazer o exercício, sem acrecentar 1/4 e -1/4 ao segundo membro?
Além disso, se uma função é periódica quando f(x + P) = f(x). Por que eu não poderia dizer que a = 0?

carlos.r
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Mensagem por Luck Sáb 23 Mar 2013, 15:14

f(x+a) = 1/2 + sqrt[ f(x) - f²(x) ]
f(x+a) - 1/2 = sqrt[ f(x) - f²(x) ]
f²(x+a) - f(x+a) + 1/4 = f(x) - f²(x) (I)
fazendo x = x -a
f²(x) - f(x) + 1/4 = f(x-a) - f²(x-a) (II)
(I) - (II):
f²(x+a) - f(x+a) - f²(x) + f(x) = f(x) - f²(x) - f(x-a) + f²(x+a)
f(x-a) = f(x+a)
x -> x+a
f(x) = f(x+2a), logo f é periódica de período 2a.
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Mensagem por magnusmanrik Sáb 18 Abr 2020, 18:42

Eis quando o demônio ataca em forma de questão. Alguém poderia explicar esse troço?
Além do mais, um cara deu uma resposta lá no Yahoo, não entendi bem essa resposta dele também: resposta. Eu 'tô rindo pra não chorar! Ah... ah... ah... (isso é um grito de desespero).
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