Adição Telescópica

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Mensagem por gustavolz em Sex 08 Mar 2013, 16:56

Efetue 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ... + 99 x 100.
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Mensagem por Luck em Sex 08 Mar 2013, 22:51

S = ∑k(k+1) variando de 1a 99
S= ∑(k² + k)
S = ∑k² + ∑k
S = n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2
S = 99.100.199/6 + 99.100/2
S = 328350 + 4950
S = 333300
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Mensagem por gustavolz em Sex 08 Mar 2013, 23:51

Esse Luck, sempre resolvendo as questões como se não fosse nada.

Não comprrendi essa parte:
Como que isso: S = ∑k² + ∑k
Se tornou isso: S = n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2 ?
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Mensagem por gustavolz em Sex 08 Mar 2013, 23:57

Ah, e no meu livro a solução está diferente:
k(k +1) - 1/3 x k x (k + 1) x (k +2) - 1/3(k - 1) x k x (k + 1)

Depois ele vai desenvolvendo. Você saberia me dizer como ele chegou a isso?
Acho que não compreendi direito as propriedades da Soma Telescópica D:
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Mensagem por Luck em Sab 09 Mar 2013, 00:15

@gustavolz escreveu:Esse Luck, sempre resolvendo as questões como se não fosse nada.

Não comprrendi essa parte:
Como que isso: S = ∑k² + ∑k
Se tornou isso: S = n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2 ?

resolvo como se fosse uma questão Rolling Eyes , xD
São somatórios conhecidos, é bom ter em mente:
∑k = n(n+1)/2 (PA) , k de 1 a n
∑k² = n(n+1)(2n+1)/6
∑k³ = (n(n+1)/2)²
Tem várias demonstrações para essas somas , vc pode encontrar aqui mesmo no fórum em alguns tópicos..

"Ah, e no meu livro a solução está diferente:
k(k +1) - 1/3 x k x (k + 1) x (k +2) - 1/3(k - 1) x k x (k + 1)

Depois ele vai desenvolvendo. Você saberia me dizer como ele chegou a isso?"

poste a resolução completa do seu livro, e nao esqueça de postar o gabarito quando tiver.
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Mensagem por gustavolz em Sab 09 Mar 2013, 00:39

Ah, entendi. Eu conheço esses somatórios. Engraçado que eu passei a conhecer a pouco tempo, mas agora frequentemente ele aparece na resolução dessas questões e eu sempre deixo passar, você mesmo já respondeu uma pergunta minha que precisa utilizar eles.
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Mensagem por gustavolz em Sab 09 Mar 2013, 12:53

Resolução do livro completa:

1 x 2 = (/3) x 1 x 2 x 3 - (1/3) x 0 x 1 x 2.

2 x 3 = (1/3) x 2 x 3 x 4 - (1/3) x 1 x 2 x 3.

3 x 4 = (1/3) x 3 x 4 x 5 - (1/3) x 2 x 3 x 4.

...

99 x 100 = (1/3) x 99 x 100 x 101 - (1/3) x 98 x 99 x 100.

Somanso membro a membro e fazendo o "cancelamento telescópico" no segundo membro, teremos:

1 x 2 +2 x + 3 x 4 + 98 x 99 + 99 x 100 = (1/3)x 99 x 100 x 101 - (1/3) x 0 x 1 x 2 = 333300
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Mensagem por Luck em Sab 09 Mar 2013, 14:20

@gustavolz escreveu:Resolução do livro completa:

1 x 2 = (/3) x 1 x 2 x 3 - (1/3) x 0 x 1 x 2.

2 x 3 = (1/3) x 2 x 3 x 4 - (1/3) x 1 x 2 x 3.

3 x 4 = (1/3) x 3 x 4 x 5 - (1/3) x 2 x 3 x 4.

...

99 x 100 = (1/3) x 99 x 100 x 101 - (1/3) x 98 x 99 x 100.

Somanso membro a membro e fazendo o "cancelamento telescópico" no segundo membro, teremos:

1 x 2 +2 x + 3 x 4 + 98 x 99 + 99 x 100 = (1/3)x 99 x 100 x 101 - (1/3) x 0 x 1 x 2 = 333300

Ah sim, o que ele fez foi forçar aparecer uma soma telescópica, que ao somar ,todos os termos iram cortar sobrando apenas o segundo e o penúltimo, boa solução. Mas pra esse exercício resolvendo do primeiro jeito vc nao precisa 'pensar' muito, só ter em mente as somas conhecidas...
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