O numero de elementos de B

Sejam A ={x£ N / x <= 1200} e B={Y£A/y é primo com 1200} .O número de elementos de B é:

(A) 270 (B)300 (C) 320 (D) 360 (E) 420

Drufox escreveu:Sejam A ={x£ N / x <= 1200} e B={Y£A/y é primo com 1200} .O número de elementos de B é:

(A) 270 (B)300 (C) 320 (D) 360 (E) 420

Boa noite,

Fazendo uma contagem, seriam todos os da relação de números primos, desde o 7 até 1193,
193 números primos.

E, da lista 7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,
113,127,131,137,139,149,151,157,163,167, fiz combinações de cada um da lista com os seus seguintes, até o número primo igual ou anterior ao limite de 1200 dividido por ele:

7, com 35 dos seguintes a ele na lista, até o 167 (pois 1200/7 = 171,...).
11, com 24 dos seguintes a ele na lista, até o 109 (pois 1200/11 = 109,...).
13, com 18 dos seguintes a ele na lista, até o 89 (pois 1200/13 = 92,...).
17, com 12 dos seguintes a ele na lista, até o 67 (pois 1200/17 = 70,...).
19, com 10 dos seguintes a ele na lista, até o 61 (pois 1200/19 = 63,...).
23, com 6 dos seguintes a ele na lista, até o 47 (pois 1200/23 = 52,...).
29, com 3 dos seguintes a ele na lista, até o 41 (pois 1200/29 = 41,...).
31, com 1 seguinte a ele na lista , o 37 (pois 1200/31 = 38,...).
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Total = 109

E mais:

7*7, 11*11, 13*13, 17*17, 19*19, 23*23, 29*29 e 31*31 = 8
7*7*7 , 7*7*11, 7*7*13, 7*7*19, 7*7*23 = 5
7*11*11, 7*11*13 = 2

Resumindo, encontrei:

193 + 109 + 8 + 5 + 2 = 317 valores “y” que são primos com 1200.
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Porventura seriam 320? E assim estariam faltando 3 na lista acima?








Um abraço.

Olá Ivomilton e Drufox, tem um modo menos trabalhoso:
mdc( 1200, y) = 1
1200 = 2^4 .3.5²
entao queremos os números que nao sao múltiplos nem de 2 nem de 3, e nem de 5.
Do princípio da inclusão-exclusão:
n (2U3U5) = n(2) + n(3) + n(5) - n(6) - n(10) - n(15) + n(30)
n(2U3U5) = 600 + 400 + 240 -200 - 120 -80 + 40
n(2U3U5) = 880
1200 - 880 = 320

Bom dia, Luck.

Muito obrigado por sua resolução!
Hoje, durante minha caminhada obrigatória diária, pensando nessa questão, cheguei a uma resolução semelhante à sua, eliminando os múltiplos de 2, 3 e 5; fazendo retornar os eliminados em duplicidade (de 2*3, de 2*5 e de 3*5); e por fim eliminando também os múltiplos de 30, por terem sido adicionados indevidamente ao fazer os retornos em duplicidade.
Notei, também, ser uma questão de conjuntos, em que o uso do diagrama de Venn seria muito adequado.





Um abraço.

n (2U3U5) = n(2) + n(3) + n(5) - n(6) - n(10) - n(15) + n(30)
n(2U3U5) = 600 + 400 + 240 -200 - 120 -80 + 40
n(2U3U5) = 880
1200 - 880 = 320

não entendi muito bem de onde tirou 600,400,240,200,120,80,40

Drufox escreveu:n (2U3U5) = n(2) + n(3) + n(5) - n(6) - n(10) - n(15) + n(30)
n(2U3U5) = 600 + 400 + 240 -200 - 120 -80 + 40
n(2U3U5) = 880
1200 - 880 = 320

não entendi muito bem de onde tirou 600,400,240,200,120,80,40

Boa tarde, Drufox.
Explicando as colocações do Luck:
600 = 1200/2 = eliminando os múltiplos de 2
400 = 1200/3 = idem, os de 3
240 = 1200/5 = idem, os de 5
200 = 1200/6 = adicionando os múltiplos comuns ao 2 e ao 3, por terem sido
........................ eliminados em duplicidade
120 = 1200/10 = idem, quanto aos de 2 e 5, idem
80 = 1200/15 = idem, quanto aos de 3 e 5, idem
40 = 1200/30 = ao adicionar os múltiplos comuns de 2, 3 e 5, acabou adicionando de novo os múltiplos de 30 (=2*3*5), então teve de eliminar essa adição indevida que fez

Espero que dê para o amigo compreender o que foi feito pelo Luck...




Um abraço.

entendi , obrigado
sei mais duas maneiras de resolver esse exercicio .

Drufox escreveu:entendi , obrigado
sei mais duas maneiras de resolver esse exercicio .

Olá, Drufox.
Esteja à vontade para colocar no site essas outras maneiras que vc conhece.
Será bom a gente conhecer os vários modos de se resolver esta questão!






Um abraço.

Outro modo é o seguinte:
vamos observando , quantos números não são diviseis por 1200 e nem dá pra simplicar , ou seja é primo com 1200
1 a 10= 1,7 =>2 números
10 a 20= 11,13,17,19=>4 números
20 a 30=23,29=>2 numeros
repare que de 1 a 30 foram 8 números que são primos com 1200
30 a 40=31,37=>2 números
40 a 50=4143,47,49=4 números
50 a 60=53,59 =>2 numeros
de 30 a 60 foram 8 números que são primos com 1200
ai repare que de 30 em 30 , 8 números são primos com 1200

30--- 8
1200---x
x=320


Outra manera é uma formula que achei pra resolver esses tipo de exercicio
1200=2^4.3.5²

1200. 1/2 .2/3.4/5

no denominador colocamos o 2,3,5 que encontramso quando fatoramos , e no númerador colocamos um a menos do numero , em cima do 2 fica 2-1 =1 , em cima do 3 fica 3-1=2 , em cima do 5 fica 5-1=4
1200. 8/30
320

Usando fi de euler acha o mesmo resultado: 320.