Considere uma circunferência...

Considere uma circunferência de centro em O e diâmetro AB. tome um segmento BC tangente à cincunferência, de modo que o ângulo B^CA meça 30°. Seja D o ponto de encontro da circunferência com o segmento AC e DE o segmento paralelo a AB, com extremidades sobre a circunferência. A medida do segmento DE será igual a:

Resposta: À metade da medida de AB.

1) Como DE é paralelo a AB conclui-se que A^BE = BÂC = 60° e A^DE = BÊD = x.

2) No quadrilátero ABDE:
2.60° + 2.x = 360° --> x = 120°

3) Observe q tanto o triangulo ADO como o triangulo BEO são equiláteros pois dois de seus lados são iguais (iguais ao raio da circunferência) e um de seus ângulos é igual a 60° (como foi demonstrado no item 1). Assim conclui-se que E^DO = DÊO = 120° - 60° = 60°. E assim o triangulo DEO também é equilátero.

4) Como os triângulos ADO, BEO e DEO são todos equiláteros e de mesma área (já que todos possuem dois de seus lados iguais ao raio da circunferência) conclui-se que DE = AO = BO = AB/2.

Outro modo.
Aproveitando o desenho do Mauk03.
Chamemos AB=2a e AD=EB=a (lados do hexágono regular inscrito)
Aplicando as relações métricas no triângulo retângulo em ADB e BED temos:
(b²=a.m)
EB²=m.2a--> a²=m.2a--->m=a/2--e AD²=n.2a--->n=a/2 ,onde m e n são as projeções de EB e AD sobre AB.

ED=m+n=a/2+a/2=2a²=a

Alguém teria o desenho da figura ?

Desenhei corretamente ?

Coloquei o ângulo no local errado. Fora isso, o que está equivocado ?

Não. Quem mede 30º é o ângulo B^CA (e não o ângulo BÂC):