Aprendendo a derivar - uma aplicação (3)

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Mensagem por Euclides em 3/2/2013, 2:39 pm

O que foi mostrado até agora é, como faz parte da nossa proposta, apenas uma instrumentalização com poucos aspectos teóricos voltada essencialmente para operacionalizar o uso dessas ferramentas em aplicações de exercícios.

Faremos aqui, então, uma pausa na evolução do estudo das derivadas para conhecer alguma aplicação prática. Vamos examinar o Movimento Unifromemente Variado à luz desse conhecimento novo.

Vamos considerar um móvel que no momento em que começa a ser observado possui uma velocidade inicial e está, num dado referencial, numa posição e possui uma aceleração que faz variar sua velocidade em , isto é, soma mais a m/s à sua velocidade, a cada segundo que passa.

O que desejamos é poder conhecer suas novas posições a cada momento dado. Onde ele estará, decorridos t segundos. Já que as posições são progressivas na trajetória é de se esperar que a cada segundo uma distância adicional seja somada à sua posição original.



A sua velocidade inicial, se fosse constante somaria uma distância na forma:



e os acréscimos de velocidade providos pela aceleração somam



Essa expressão é velha conhecida de todo aluno de física desde o primeiro semestre do nível médio. Já sabemos que é uma função do segundo grau (que descreve uma parábola) na variável tempo, sendo os demais elementos todos constantes. Uma função do segundo grau é derivável. Vamos derivá-la então e ver o que encontramos:



de acordo com as regras de derivação que conhecemos: a derivada de uma constante é zero, e a derivada de uma potencia da variável é . Prosseguindo,



conhecemos essa expressão!! É a equação da velocidade no MUV. Concluímos que



a derivada dos espaços em função do tempo é a velocidade em função do tempo. Se lembrarmos do significado dessa derivada perceberemos que a expressão da velocidade fornece as inclinações das tangentes à parábola a cada instante.

A velocidade é uma expressão do primeiro grau e ainda podemos derivá-la. Isso nos conduzirá a uma segunda derivada a partir do espaço.



novamente encontramos uma conhecida: a aceleração.



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Isso amplia enormemente a nossa competência no estudo dos movimentos.
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Sabendo-se que uma partícula descreve um movimento cujas posições variam de acordo com a expressão



podemos agora encontrar sua velocidade e aceleração a cada instante.



O movimento ainda é variado, mas não é mais uniforme e mesmo assim agora já temos competência para lidar com ele.


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Para treinar:

Uma partícula se move de acordo com a equação (SI), encontre, no instante t=2:

a) sua posição
b) sua velocidade
c) sua aceleração

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Mensagem por Leonardo Sueiro em 3/2/2013, 2:41 pm

Euclides, essa parte do fórum superou minhas expectativas.
Não imaginava que ficaria tão organizado. Está ficando muito bom.
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Mensagem por Euclides em 3/2/2013, 6:47 pm

Obrigado Leonardo,

organização é essencial. Didatismo, você (que é bem didático) sabe que exige planejamento mental e, é uma tarefa obrigatória quando se tenta passar idéias.

Estou tentando um meio de operacionalizar rapidamente com objetivos bem práticos esses assuntos. A ideia essencial é fornecer ferramentas que possam ser usadas em curto prazo.

Toda a teoria, que é muito mais extensa do que isso, fica por conta de um curso regular, numa faculdade.

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