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epcar 2005 geometria

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epcar 2005 geometria Empty epcar 2005 geometria

Mensagem por ricardo ferrari Qui 31 Jan 2013, 10:46

Considere o triângulo ABC abaixo, retângulo em B.


epcar 2005 geometria 74764522


Sabendo-se que AB = 4 cm e a razão entre as áreas dos
triângulos ABH e BCH, nessa ordem, é igual a 2, conclui-se
que a medida AC , em cm, é igual a


a)2v6
b)2v3
c)5
d)3
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epcar 2005 geometria Empty Re: epcar 2005 geometria

Mensagem por Euclides Qui 31 Jan 2013, 11:45

epcar 2005 geometria Glimpse_zps2549bd9c


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epcar 2005 geometria Empty Re: epcar 2005 geometria

Mensagem por JoaoGabriel Qui 31 Jan 2013, 11:50

A razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os lados.

Note que ∆ABH ~ ∆BCH, onde se estabelece a seguinte razão:

AB/BC = BH/HC = AH/ BH = k

Pelo enunciado:

S_ABH/S_BCH = 2

Só que:

S_ABH/S_BCH = k² --> então:

k² = 2 --> k = V2

Substituindo na proporção:

AB/BC = V2 --> 4/BC = V2 --> BC = 2V2

Por Pitágoras:

AC² = AB² + BC² --> AC² = 16 + 8 --> AC² = 24 = 4*6

AC = 2V6 --> alternativa A
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Mensagem por raimundo pereira Qui 31 Jan 2013, 13:42

Acho que essa questão deveria ser mudada para o local correto.

Outro modo:
Triângulos com mesma altura e base na mesma reta suporte tem áreas proporcionais as suas bases.
Como a razão entre as áreas é 2, temos que os segmentos(projeções m e n) sobre a hipotenusa valem 2 e 1

m=2n
a=m+n-->a=3n
Relação métrica no triângulo retângulo b²=a.m
b²=a.m
16=3n.2n--->n²=(V16/6)--->n=2V6/3
Como a=3n--->a=3.2V6/3=2V6
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epcar 2005 geometria Empty Re: epcar 2005 geometria

Mensagem por ricardo ferrari Qui 31 Jan 2013, 20:40

pq m=2n e a=3n
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epcar 2005 geometria Empty poruqe k^2

Mensagem por ricardo ferrari Qui 31 Jan 2013, 20:41

JoaoGabriel escreveu:A razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os lados.

Note que ∆ABH ~ ∆BCH, onde se estabelece a seguinte razão:

AB/BC = BH/HC = AH/ BH = k

Pelo enunciado:

S_ABH/S_BCH = 2

Só que:

S_ABH/S_BCH = k² --> então:

k² = 2 --> k = V2

Substituindo na proporção:

AB/BC = V2 --> 4/BC = V2 --> BC = 2V2

Por Pitágoras:

AC² = AB² + BC² --> AC² = 16 + 8 --> AC² = 24 = 4*6

AC = 2V6 --> alternativa A
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Mensagem por Elcioschin Qui 31 Jan 2013, 20:46

Porque:

1) Os triângulos ABH e CBH tem a mesma altura BH
2) Como Sabh = 2*Scbh a base de ABH é o dobro da base de CBH ----> AH = 2*CH ( m = 2n)
3) AC = AH + CH ----> AC = 2n + n ----> AC = 3n
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