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(UECE) Triângulos equiláteros em um cubo

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(UECE) Triângulos equiláteros em um cubo Empty (UECE) Triângulos equiláteros em um cubo

Mensagem por soniky Qua 23 Jan 2013, 20:09

Com três quaisquer dos vértices de um cubo, forma-se um triângulo. Dos triângulos assim formados a quantidade dos que são equiláteros é:
a) 4
b) 6
c) 10
d) 8

Gabarito: Letra D
___________________________________________________________________________

A única forma de ser equilátero no cubo é se os triângulos forem formados pelas diagonais das faces, pois todas têm o mesmo comprimento. Mas não consigo pensar em nenhum jeito de calcular quantos triângulos são possível, fui "manualmente" e acabei errado.
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(UECE) Triângulos equiláteros em um cubo Empty Re: (UECE) Triângulos equiláteros em um cubo

Mensagem por Rocae Qua 23 Jan 2013, 20:41

Eu encontrei um jeito um pouco inusitado, fiz assim:

(UECE) Triângulos equiláteros em um cubo Image008

Pegando o vértice A da imagem, os únicos vértices com os quais ele pode formar triângulos equiláteros são os vértices C, H e F. Pegando o vértice B, os únicos vértices com os quais ele pode formar triângulos equiláteros são os vértices D, E e G. Fazendo isso, conseguimos encontrar todas as possibilidades de triângulos equiláteros, Os vértices ACHF podem se combinar de C4,3 formas e os vértices BDEG de C4,3 formas também:

2C4,3 = 2 x 4!/3! = 2 x 4 = 8
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