produto é maximo

por marcio eustaquio Seg 07 Jan 2013, 02:38

Marque a alternativa que representa os três números positivos x,y e z cuja a soma é 120 e o produto é máximo.

(a) 45,55 e 20
(b) 75, 35 e 50
(c) 33,47 e 40
(d) 40, 40 e 40
(e) 50, 50 e 50

por **aryleudo** Sáb 12 Jan 2013, 09:56

Esse problema exige conhecimento das desigualdades entre as Médias Aritmética e Geométrica.

DADOS
x y z = 120 ----------------------- {Dividindo tudo por 3}
(x y z)/3 = 120/3
(x y z)/3 = 40

x.y.z = ? (produto seja máximo);
x = ?
y = ?
z = ?

SOLUÇÃO
Da desigualdade entre as Médias Aritmética e Geométrica temos:

$\frac{x + y + z}{3}\geq \sqrt[3]{x\cdot y\cdot z }$

Para que o Produto seja máximo é necessário que a Média Aritmética seja igual a Média Geométrica. Assim temos:

$\sqrt[3]{x\cdot y\cdot z }= \frac{x+y+z}{3} \Rightarrow \sqrt[3]{x\cdot y\cdot z }= 40 \Rightarrow x\cdot y\cdot z = 64000$

Mas o Produto só assume o valor máximo quando x= y = z. Assim temos:

$x\cdot y\cdot z = 64000 \Rightarrow x^3 = 64000 \Rightarrow x = \sqrt[3]{64000} \Rightarrow x = 40$

Portanto, x = y = z = 40.

por **adriano tavares** Sáb 12 Jan 2013, 20:05

Olá,márcio eustaquio.

Uma segunda maneira de resolver esse exercício é a seguinte:

Sendo a soma dos números variáveis positivos constante, o produto será máximo quando todos os números forem iguais.

$x+y+z=120$

$3x=120 \Rightarrow x=40\\\\x=y=z=40$

por **aryleudo** Sáb 12 Jan 2013, 21:22

Bem observado Adriano Tavares! Shocked

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