Desafio de Números Complexos

Desafio apenas para iniciantes

Qualquer estudante do Ensino Fundamental aprende que √(1) = 1 (em módulo)

Qualque estudante do Ensino Médio aprende que √(-1) = i e que i^0 = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i e assim por diante de 4 em 4 expoentes

Vejam agora:

i² = i*i ----> i² = √(-1)*√(-1) ----> i² = √[(-1)*(-1)] ----> i² = √(1) ----> i² = 1 ----> Absurdo !!!!!

Qual foi o erro cometido nos cálculos acima?

Suponha x² t.q x² = 1.
Pelo teorema fundamental da algebra esse polinomio só pode ter 2 raizes.Sabemos que 1 e -1 são raizes, então é absurdo dizer que i é raiz desse polinomio (e sabemos que i² = -1, devendo então i ser raiz do polinomio x² = -1).
x = sqrt(a)*sqrt(b)
x² = ab
x = +-sqrt(ab)
Quando lidamos com números positivos eliminamos a possibilidade do resultado ser negativo.
O erro foi admitir que o convencionamento usado, que é válido para reais positivos, também o é para complexos.

Prentice

Eu entendí perteitamente os seus argumentos.

A dúvida é: será que os iniciantes entenderam?

Vou fazer a pergunta de forma diferente, para ver se os iniciantes conseguem responder:

Que mudanças devem ser feitas nos cálculos do meu post, para não se chegar naquele resultado absurdo?

Não multiplicar os dois números negativos dentro de uma única raiz.Ou faze-lo analisando o sinal do resultado (algumas operações de potenciação não são reversiveis.O erro nesse caso foi justamente forçar essa reversibilidade em um caso onde ela não é cabivel).
Pra simplificar, ao lidar com raizes de números negativos é interessante destacar a unidade imaginária pra fora dessas raizes antes de efetuar qualquer operação.
E oxi, iniciante aqui.Mestre no tópico só tu.

Você é muito modesto meu caro! E me endeusa demais!

Vou responder de uma outra forma mais palatável para os INICIANTES

Quando se multiplicam duas raízes quadradas, somente se pode colocar os dois radicandos sob uma mesma raiz se:

a) Os dois radicandos são positivos: (√3)*(√2) = √6

b) Um dos radicandos é positivo e o outro negativo: (√3)*[√(-1)] = √[3*(-1)] = √(-3) ---> é o mesmo que i*√3

Assim, é proibido fazer o mesmo com dois radicandos negativos

A correção que se deve fazer no meu post original é:

i² = i*i ---> i² = √(-1)*√(-1) ---> i² = [√(-1)]² ---> i² = [(-1)^(1/2)]² ---> i² = (-1)¹ ---> i² = -1