Taxas nominais equivalentes

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Mensagem por jrfreitas em Dom 06 Jan 2013, 13:06

Qual deve ser a frequência da capitalização dos juros de uma taxa nominal de 565,98% a.a., de modo que seu rendimento seja equivalente a taxa nominal de 480% a.a. , capitalizada bimestralmente ?

Obrigado

jrfreitas
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Taxas nominais equivalentes Empty Re: Taxas nominais equivalentes

Mensagem por jota-r em Sab 09 Fev 2013, 11:48

@jrfreitas escreveu:Qual deve ser a frequência da capitalização dos juros de uma taxa nominal de 565,98% a.a., de modo que seu rendimento seja equivalente a taxa nominal de 480% a.a. , capitalizada bimestralmente ?

Obrigado

Olá.

A fórmula que relaciona as taxas efetiva e nominal é:

i = (1+j/k)^k - 1, onde:
i = taxa efetiva
j = taxa nominal
k = número de capitalizações que ocorrem no período da taxa nominal

Dados do exercício:
i = 480% aa/b = 480%/6 a.b. = 0,8 a.b. = 1,8^6 -1 a.a. = 33,012 a.a.
j = 565,98% a.a.

Colocando os dados na fórmula, vem:

i = (1+j/k)^k-1
---->
1 + i = (1+j/k)^k
---->
34,012 = (1+565,98%/k)^k--->(1)

Note que não dá para aplicar logaritmo a esta equação, por causa do sinal de + existente no segundo membro. A saída que conheço é substituir a equação (1) por outra que lhe seja equivalente e que não tenha o k dividindo a taxa e, consequentemente, o sinal de + seja suprimido.
Essa equação é (1 + jm)^(k/2) -1, em que:

jm = taxa nominal anual modificada
k/2 = o k é número de capitalizações da taxa jm no período de um ano e o 2 representa a capitalização (bimestral) da taxa 34,012.

Calculando jm:

jm = 565,98% a.a.= 565,98%/6 a.b.= 0,9433 a.b.= (1+0,9433)^(1/2) - 1 a.m. = 0,39402 a.m.= 0,39402*12 a.a.= 4,72824 a.a.

Logo, a equação equivalente à equação (1), é:

34,012 = (1 + 4,72824)^(k/2)
---->
34,012 = 5,72824^(k/2)
---->
Agora sim, podemos aplicar logaritmo à equação. Fazendo isso, vem:

log 34,012 = log 5,72824^(k/2)
---->
log 34,012 = (k/2)*log 5,72824
---->
log 34,012 =(k/2)*log 5,72824
---->
k/2 = log 34,012/log 5,72824
---->
k/2 = 2
---->
k = 2*2 = 4

Ou seja, para que a taxa de 565,98% a.a. seja equivalente à de 480% aa/b, devem ocorrer 4 capitalizações trimestrais no prazo de 1 ano (12 meses).
Portanto, a resposta é: capitalização trimestral.


Um abraço.

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