Popuaçao Bacterias (MED-Bragança)

1. A população de duas culturas de bactérias crescem exponencialmente. Constatou-se que, em
uma hora, a taxa de crescimento da cultura A era de 4% por hora enquanto na cultura B, a taxa
de crescimento era 8%. A cultura A continha, inicialmente, 10 bactérias e a cultura B continha 5
bactérias. Após quanto tempo as duas culturas terão o mesmo número de bactérias? Considere
ln (1,08/1,04) ≈ 0,04 e ln 2 ≈ 0,7.
a) 16 horas.
b) 16 horas e 30 minutos.
c) 17 horas.
d) 17 horas e 30 minutos.
e) 18 horas.

R: D (17 horas e 30 mins)

por favor galera se alguém conseguir fazer ficoo muito grato..abras

P = Po(1 + r)ⁿ

P' = Po'(1 + r')ⁿ

P = P'

Po(1 + r)ⁿ = Po'(1 + r')ⁿ

ln(10) + n.ln(1,04) = ln(5) + n.ln(1,08)

n.ln(1,08) - n.ln(1,04) = ln(10) - ln(5)

n( ln(1,08/1,04) = ln(10/5)

n = ln(2) / ln(1,08/1,04)

n ≈ 0,7 / 0,04

n ≈ 17,5 h = 17h 30min

Rihan
muito obrigado pela atenção!!
mas me perdi nessa parte..

ln(10) + n.ln(1,04) = ln(5) + n.ln(1,08)

poderia me explicar por favor?? ainda sou muito novato em matemática..mais uma vez obrigadoo

1) Dados:

ln (1,08/1,04) ≈ 0,04 e ln(2) ≈ 0,7.

r := Taxa de crescimento da cultura A: 4% / h = 0,04 / h

r' := Taxa de crescimento da cultura B: 8% / h = 0,08 / h

Po := População de A no instante inicial, n = 0 : 10 bactérias

Po' := População de B no instante inicial, n = 0 : 5 bactérias


2) Pede-se:

Quando (em qual 'n') P = P' ?


3) Sabendo-se:

a) Crescimento ou Decréscimo Populacional

P = Po(1 + r)ⁿ

Onde:

n := instante (número de períodos em uma unidade de tempo)

r := Taxa de crescimento da população ( taxa positiva de acréscimo ou negativa de decréscimo por período)

Po := População no instante inicial, n = 0 (nº de indivíduos)

P := População em um instante qualquer n (nº de indivíduos )


b) Propriedade dos Logarítmos

logb(X) := Log de 'X' na base 'b'

log10(X) ≡ log(X)

loge(X) ≡ ln(X) , onde e = 2,718....

logb(X) = a ⇔ bª = X

logb(X.Y) = logb(X) + logb(Y)

logb(Xⁿ) = n.logb(X)

logb(Xˉ¹) = logb((1/X) = - logb(X)

logc(X) / logb(X) = logb(c)


4) Tem-se:

P = Po(1 + r)ⁿ

P' = Po'(1 + r')ⁿ

P' = P ?

Po'(1 + r')ⁿ = Po(1 + r)ⁿ

5(1 + 0,08)ⁿ = 10(1 + 0,04)ⁿ

(1 + 0,08)ⁿ / (1 + 0,04)ⁿ = 10 / 5

(1,08)ⁿ / (1,04)ⁿ = 2

(1,08 / 1,04)ⁿ = 2

ln(1,08 / 1,04)ⁿ = ln(2)

n.ln(1,08 / 1,04) ≈ 0,7

n . 0,04 ≈ 0,7

n ≈ 0,7 / 0,04

n ≈ 17,5 h = 17h 30min

Rihan...tu é muito fera meu irmao...muito...mas muito obrigado mesmo!!!

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